Uma urna tem 10 bolas azuis e 40 amarelas.
Qual a probabilidade de que de 16 bolas retiradas sem reposição ocorram 3 azuis?
Qual a probabilidade de que de 16 bolas retiradas sem reposição ocorram 3 azuis?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de, ao retirar
bolas sem reposição de uma urna com
bolas azuis e
bolas amarelas (total
), ocorrer exatamente
bolas azuis.\n
Informações dadas:
bolas azuis,
bolas amarelas,
bolas no total.\n
Retiradas: bolas sem reposição.\n
Queremos: probabilidade de exatamente azuis entre as
retiradas.
Informações dadas:
Retiradas:
Queremos: probabilidade de exatamente
Passo 2
Qual é o modelo apropriado e por quê?\n
Quando escolhemos uma amostra sem reposição de uma população finita com dois tipos (aqui: azuis e amarelas), as chances de sucesso mudam a cada retirada — por isso NÃO usamos o modelo binomial simples. O modelo certo é a distribuição hipergeométrica: ela dá a probabilidade de obter exatamente sucessos (azuis) em
retiradas, quando na população existem
sucessos em
itens.\n
A fórmula da hipergeométrica (explicando cada símbolo) é:\n
Quando escolhemos uma amostra sem reposição de uma população finita com dois tipos (aqui: azuis e amarelas), as chances de sucesso mudam a cada retirada — por isso NÃO usamos o modelo binomial simples. O modelo certo é a distribuição hipergeométrica: ela dá a probabilidade de obter exatamente
A fórmula da hipergeométrica (explicando cada símbolo) é:\n
onde:
= tamanho da população (
aqui),\n
= número de sucessos na população (
azuis),\n
= tamanho da amostra (
retiradas),\n
= número de sucessos desejados (
azuis),\n
e é o número de maneiras de escolher
itens dentre
(combinação).\n
Intuição da fórmula: contamos de quantas formas escolher exatamente azuis dentre os
possíveis (
) e, ao mesmo tempo, escolher os
amarelas dentre as
amarelas (
). Dividimos pelo total de formas de escolher
bolas de
(
).
e
Intuição da fórmula: contamos de quantas formas escolher exatamente
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso problema:
,
,
,
.\n
Então
Então
Passo 4
Vamos calcular passo a passo as combinações fáceis primeiro e explicar como interpretar cada uma.\n
é o número de formas de escolher
azuis entre as
. Calcula-se por
As outras combinações (
e
) são grandes; é comum deixar a resposta na forma combinatória porque é exata e limpa. Mas se quiser um valor numérico, dá para simplificar e calcular manualmente fazendo cancelamentos inteligentes (vou mostrar uma maneira prática).
Passo 5
Reescrevemos o quociente de combinações de forma a cancelar fatores e facilitar a conta manual. Usando a forma multiplicativa
e fazendo manipulações óbvias, obtemos (mostro o cancelamento que torna a conta factível à mão):
o que agrupado de forma conveniente resulta em
Observe que no numerador temos 16 fatores (os três
mais os
fatores de
até
), e no denominador temos 16 fatores (
até
). Agora podemos cancelar termos idênticos e/ou dividir numerador por denominador progressivamente para manter números manejáveis.
Passo 6
Faço a simplificação executando multiplicações e divisões em sequência (um jeito prático e seguro para calcular sem calculadora): comecei com
e, para cada par (um fator do numerador, um do denominador), multipliquei e dividi respeitando a ordem para que os números ficassem pequenos. Segue a sequência de operações exatas (cada operação é multiplicar por um numerador e dividir pelo correspondente denominador):
Se você for fazendo essas operações em forma de fração inteira e simplificando (como eu fiz), obtém-se, passo a passo, uma fração final equivalente. Após os cancelamentos e multiplicações exatas obtemos a fração (reduzida por
):
Convertendo essa fração para decimal (aproximação), temos
Passo 7
Checagem rápida de coerência (intuição): a proporção de azuis na urna é
. Em
retiradas a esperança é
. Logo
é um valor bem central, então esperar uma probabilidade relativamente alta para
azuis faz sentido. A aproximação binomial (como verificação rápida) dá um valor do mesmo ordem de grandeza; a hipergeométrica é ligeiramente diferente por causa da amostragem sem reposição — nossa conta exata acima é a correta.