Uma urna tem 10 bolas azuis e 40 amarelas.
Qual a probabilidade de que a
bola retirada com reposição seja a
azul?
Qual a probabilidade de que a
Passo 1
O enunciado dá uma urna com
bolas azuis e
bolas amarelas. As retiradas são feitas com reposição (ou seja, após cada retirada a composição da urna volta a ser a mesma). A pergunta é: qual a probabilidade de que a
bola retirada seja a
azul?
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Número de bolas azuis:
. - Número de bolas amarelas:
. - Retiradas com reposição (portanto as probabilidades não mudam entre retiradas).
- Queremos que a primeira ocorrência de azul seja exatamente na retirada de número
.
Passo 2
Entendendo o que é pedido com palavras: “a
bola seja a
azul” significa que nas cinco primeiras retiradas não saiu azul (ou seja, saíram amarelas) e na sexta saiu azul. Então o evento desejado é a interseção dos eventos “1ª não azul”, “2ª não azul”, …, “5ª não azul” e “6ª azul”.
Como as retiradas são com reposição, cada retirada é independente e a probabilidade de sair azul em qualquer retirada é sempre a mesma. Vamos calcular essa probabilidade básica.
Como as retiradas são com reposição, cada retirada é independente e a probabilidade de sair azul em qualquer retirada é sempre a mesma. Vamos calcular essa probabilidade básica.
Passo 3
Calcule a probabilidade de sair azul em uma única retirada. Há
azuis em
bolas, portanto
A probabilidade de não sair azul (isto é, sair amarelo) em uma retirada é
Passo 4
Como as retiradas são independentes, a probabilidade de ocorrerem cinco retiradas consecutivas sem azul é o produto das probabilidades de cada uma:
E a probabilidade de a sexta ser azul é
. Portanto, a probabilidade conjunta de “cinco não azuis seguidos e depois azul” é o produto:
Passo 5
Explicando a fórmula geral (didática): isto é um caso da distribuição geométrica discretizada, que dá a probabilidade de a primeira ocorrência de um sucesso (azul) acontecer na tentativa
:
onde
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa e
é a posição do primeiro sucesso. Aqui
e
, o que gera exatamente a expressão do passo anterior.
Passo 6
Calcule o valor numérico exato e aproximado. Primeiro a forma fracionária:
Agora a forma decimal (usar vírgula como separador):
Em porcentagem isso é aproximadamente
Passo 7
Dica rápida para prova: identifique "primeira ocorrência na posição
" e use a ideia de que todas as tentativas anteriores são fracassos e a
-ésima é sucesso. Multiplique as probabilidades (independência). Para cálculos rápidos sem calculadora, mantenha em potências de denominadores comuns como fizemos (
).