Uma urna tem 10 bolas azuis e 40 amarelas.
Qual a probabilidade de que em 30 bolas retiradas com reposição ocorram no máximo duas azuis?
Qual a probabilidade de que em 30 bolas retiradas com reposição ocorram no máximo duas azuis?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que, em
retiradas com reposição, ocorram no máximo
bolas azuis.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Há
bolas azuis e bolas amarelas na urna. - O total de bolas é
. - Serão feitas
retiradas com reposição. - Queremos a probabilidade de ocorrerem
, ou bolas azuis nas retiradas.
Passo 2
Modelagem do experimento (aula rápida e prática): cada retirada com reposição é um ensaio onde podem ocorrer dois resultados: “azul” (sucesso) ou “não azul” (fracasso). Esses ensaios são independentes entre si por causa da reposição. Quando temos
ensaios independentes com mesma probabilidade de sucesso
, o número de sucessos
segue a distribuição binomial.
A fórmula da probabilidade na binomial é:
onde:
-
é o número de ensaios (aqui ); -
é o número de sucessos que queremos (aqui ); -
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui: tirar azul); -
é o coeficiente binomial que conta de quantas maneiras podemos escolher quais ensaios dentre tiveram sucesso.
Passo 3
Calcular
(probabilidade de tirar azul em uma retirada):
Logo
. Vamos também usar a notação
.
Passo 4
A probabilidade pedida é
Isso significa somar as probabilidades de
,
e
.
Passo 5
Calcular os coeficientes binomiais necessários:
Passo 6
Vamos calcular cada termo separadamente. Para facilitar, trabalharemos em decimal com
e
.
Termo
:
Para calcular
em etapas:
,
, e portanto
Termo
:
Usamos
, então
portanto
Termo
:
Usamos
, então
e
Passo 7
Somar os três termos para obter
:
Interpretação: a probabilidade de, em
retiradas com reposição, ocorrerem no máximo
bolas azuis é aproximadamente
. Você pode arredondar conforme o nível de precisão desejado (por exemplo
).