Uma urna tem 10 bolas azuis e 40 amarelas.
Qual a probabilidade de que a 6^{a} bola retirada com reposição seja a 1^{a} azul?

Passo 1

O enunciado dá uma urna com 10 bolas azuis e 40 bolas amarelas. As retiradas são feitas com reposição (ou seja, após cada retirada a composição da urna volta a ser a mesma). A pergunta é: qual a probabilidade de que a 6^{\text{a}} bola retirada seja a 1^{\text{a}} azul?
Informações relevantes fornecidas:
  • Número de bolas azuis: 10.
  • Número de bolas amarelas: 40.
  • Retiradas com reposição (portanto as probabilidades não mudam entre retiradas).
  • Queremos que a primeira ocorrência de azul seja exatamente na retirada de número 6.

Passo 2

Entendendo o que é pedido com palavras: “a 6^{\text{a}} bola seja a 1^{\text{a}} azul” significa que nas cinco primeiras retiradas não saiu azul (ou seja, saíram amarelas) e na sexta saiu azul. Então o evento desejado é a interseção dos eventos “1ª não azul”, “2ª não azul”, …, “5ª não azul” e “6ª azul”.
Como as retiradas são com reposição, cada retirada é independente e a probabilidade de sair azul em qualquer retirada é sempre a mesma. Vamos calcular essa probabilidade básica.

Passo 3

Calcule a probabilidade de sair azul em uma única retirada. Há 10 azuis em 10+40=50 bolas, portanto
P(\text{azul})=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}.
A probabilidade de não sair azul (isto é, sair amarelo) em uma retirada é
P(\text{não azul})=1-P(\text{azul})=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}.ã

Passo 4

Como as retiradas são independentes, a probabilidade de ocorrerem cinco retiradas consecutivas sem azul é o produto das probabilidades de cada uma:
P(\text{primeiras 5 não azuis})=\left(\frac{4}{5}\right)^5.ã
E a probabilidade de a sexta ser azul é P(\text{azul})=\frac{1}{5}. Portanto, a probabilidade conjunta de “cinco não azuis seguidos e depois azul” é o produto:
P = \left(\frac{4}{5}\right)^5 \cdot \frac{1}{5}.

Passo 5

Explicando a fórmula geral (didática): isto é um caso da distribuição geométrica discretizada, que dá a probabilidade de a primeira ocorrência de um sucesso (azul) acontecer na tentativa k:
P(X=k)=(1-p)^{k-1}\,p,
onde p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa e k é a posição do primeiro sucesso. Aqui p=\frac{1}{5} e k=6, o que gera exatamente a expressão do passo anterior.

Passo 6

Calcule o valor numérico exato e aproximado. Primeiro a forma fracionária:
P=\left(\frac{4}{5}\right)^5\cdot\frac{1}{5}=\frac{4^5}{5^6}=\frac{1024}{15625}.
Agora a forma decimal (usar vírgula como separador):
\frac{1024}{15625}\approx 0,065536.
Em porcentagem isso é aproximadamente
0,065536\times100\%=6,5536\%.

Passo 7

Dica rápida para prova: identifique "primeira ocorrência na posição k" e use a ideia de que todas as tentativas anteriores são fracassos e a k-ésima é sucesso. Multiplique as probabilidades (independência). Para cálculos rápidos sem calculadora, mantenha em potências de denominadores comuns como fizemos ( 4^5/5^6).

Resposta

\dfrac{1024}{15625}\approx 0,065536 (aprox. 6,5536\%)

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