Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 azuis. Retira-se uma bola dessa urna. Seja X o número de bolas azuis, determinar a Distribuição de Probabilidade e calcular o valor esperado de X .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas específicas:
-
Informações dadas:
- A urna contém
bolas brancas e bolas azuis. - Retira-se uma bola da urna (uma única retirada, sem reposição, pois é só uma retirada).
- Define-se a variável aleatória
como “o número de bolas azuis” obtido nessa retirada.
- A urna contém
-
O que o problema pede:
- Determinar a distribuição de probabilidade de
. - Calcular o valor esperado de
.
- Determinar a distribuição de probabilidade de
Observação importante: como só há uma retirada,
só pode assumir dois valores:
(se saiu uma bola branca) ou
(se saiu uma bola azul). A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Entendendo o que é uma variável aleatória discreta e os possíveis valores de
.
- Definição rápida e amigável: uma variável aleatória discreta é uma regra que associa números a resultados possíveis de um experimento aleatório. Aqui, o experimento é “retirar uma bola”.
- Quais valores
pode assumir? - Se a bola retirada for branca, então
. - Se a bola retirada for azul, então
.
- Se a bola retirada for branca, então
- Conclusão: o suporte (conjunto de valores possíveis) de
é .
Passo 3
Calcular as probabilidades dos dois eventos possíveis: “sai azul” e “sai branca”.
- Total de bolas na urna:
. - Probabilidade de sair uma bola azul (evento
): Simplificando a fração: Em forma decimal (uso a vírgula conforme pedido): . - Probabilidade de sair uma bola branca (evento
): - Verificação rápida (a soma das probabilidades deve ser
):
Passo 4
Apresentar a distribuição de probabilidade (função massa de probabilidade, pmf) de
de forma organizada e explicar o que significa.
- A função massa de probabilidade
dá, para cada valor possível , a probabilidade . - Aqui:
- Observação didática: essa é exatamente uma distribuição Bernoulli com parâmetro
. Significa que em um único ensaio a probabilidade de “sucesso” (aqui, sucesso = tirar azul) é . Para variáveis Bernoulli, essas duas probabilidades definem completamente a distribuição.
Passo 5
Calcular o valor esperado de
e explicar a fórmula usada, passo a passo.
- Definição didática do valor esperado para variável discreta: o valor esperado (ou esperança matemática) de uma variável aleatória discreta
é um “peso médio” dos valores possíveis, calculado por onde a soma é feita sobre todos os valores possíveis de . Aqui cada é multiplicado pela sua probabilidade e somamos. - Aplicando a fórmula ao nosso caso (suporte
): Substituindo as probabilidades calculadas: - Convertendo para decimal:
. - Interpretação intuitiva: para uma variável Bernoulli, o valor esperado é exatamente a probabilidade de “sucesso”
. Aqui faz sentido: em média, se repetíssemos muitas vezes a retirada (cada vez com urna com mesmas proporções), a fração de vezes que sairia azul seria , logo a média de seria .
Passo 6
Resumo final e reforço didático rápido (um exemplo extra pequeno para fixar).
- Resumo do que fizemos:
- Identificamos que
só pode ser ou . - Calculamos
e . - Usamos a fórmula do valor esperado para variáveis discretas e obtivemos
.
- Identificamos que
- Exemplo extra (rápido): se em vez de
azuis tivéssemos azuis em uma urna de bolas, então e . Isso mostra a ideia geral: tirar uma azul tem probabilidade e a média é .
Resposta
P(X=0)=
, P(X=1)=
E[X]=
E[X]=