Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 azuis. Retira-se uma bola dessa urna. Seja X o número de bolas azuis, determinar a Distribuição de Probabilidade e calcular o valor esperado de X .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas específicas:
  • Informações dadas:
    • A urna contém 30 bolas brancas e 20 bolas azuis.
    • Retira-se uma bola da urna (uma única retirada, sem reposição, pois é só uma retirada).
    • Define-se a variável aleatória X como “o número de bolas azuis” obtido nessa retirada.
  • O que o problema pede:
    • Determinar a distribuição de probabilidade de X.
    • Calcular o valor esperado de X.
Observação importante: como só há uma retirada, X só pode assumir dois valores: 0 (se saiu uma bola branca) ou 1 (se saiu uma bola azul). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Entendendo o que é uma variável aleatória discreta e os possíveis valores de X.
  • Definição rápida e amigável: uma variável aleatória discreta é uma regra que associa números a resultados possíveis de um experimento aleatório. Aqui, o experimento é “retirar uma bola”.
  • Quais valores X pode assumir?
    • Se a bola retirada for branca, então X=0.
    • Se a bola retirada for azul, então X=1.
  • Conclusão: o suporte (conjunto de valores possíveis) de X é \{0,1\}.

Passo 3

Calcular as probabilidades dos dois eventos possíveis: “sai azul” e “sai branca”.
  • Total de bolas na urna: \;30+20=50.
  • Probabilidade de sair uma bola azul (evento X=1): P(X=1)=\frac{\text{número de bolas azuis}}{\text{total de bolas}}=\frac{20}{50}.úSimplificando a fração: \frac{20}{50}=\frac{2}{5}.Em forma decimal (uso a vírgula conforme pedido): \frac{2}{5}=0,4.
  • Probabilidade de sair uma bola branca (evento X=0): P(X=0)=\frac{\text{número de bolas brancas}}{\text{total de bolas}}=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}=0,6.ú
  • Verificação rápida (a soma das probabilidades deve ser 1): P(X=0)+P(X=1)=\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=1.

Passo 4

Apresentar a distribuição de probabilidade (função massa de probabilidade, pmf) de X de forma organizada e explicar o que significa.
  • A função massa de probabilidade p_X(x) dá, para cada valor possível x, a probabilidade P(X=x).
  • Aqui: P(X=0)=\frac{3}{5},\qquad P(X=1)=\frac{2}{5}.
  • Observação didática: essa é exatamente uma distribuição Bernoulli com parâmetro p=\frac{2}{5}. Significa que em um único ensaio a probabilidade de “sucesso” (aqui, sucesso = tirar azul) é p=\frac{2}{5}. Para variáveis Bernoulli, essas duas probabilidades definem completamente a distribuição.

Passo 5

Calcular o valor esperado de X e explicar a fórmula usada, passo a passo.
  • Definição didática do valor esperado para variável discreta: o valor esperado (ou esperança matemática) de uma variável aleatória discreta X é um “peso médio” dos valores possíveis, calculado por E[X]=\sum_{x} x\,P(X=x),onde a soma é feita sobre todos os valores possíveis x de X. Aqui cada x é multiplicado pela sua probabilidade e somamos.
  • Aplicando a fórmula ao nosso caso (suporte \{0,1\}): E[X]=0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1).Substituindo as probabilidades calculadas: E[X]=0\cdot \frac{3}{5}+1\cdot \frac{2}{5}=\frac{2}{5}.
  • Convertendo para decimal: \frac{2}{5}=0,4.
  • Interpretação intuitiva: para uma variável Bernoulli, o valor esperado é exatamente a probabilidade de “sucesso” p. Aqui faz sentido: em média, se repetíssemos muitas vezes a retirada (cada vez com urna com mesmas proporções), a fração de vezes que sairia azul seria 0,4, logo a média de X seria 0,4.

Passo 6

Resumo final e reforço didático rápido (um exemplo extra pequeno para fixar).
  • Resumo do que fizemos:
    • Identificamos que X só pode ser 0 ou 1.
    • Calculamos P(X=1)=\dfrac{20}{50}=\dfrac{2}{5}=0,4 e P(X=0)=\dfrac{30}{50}=\dfrac{3}{5}=0,6.
    • Usamos a fórmula do valor esperado para variáveis discretas e obtivemos E[X]=\dfrac{2}{5}=0,4.
  • Exemplo extra (rápido): se em vez de 20 azuis tivéssemos 3 azuis em uma urna de 10 bolas, então P(X=1)=\dfrac{3}{10}=0,3 e E[X]=0,3. Isso mostra a ideia geral: tirar uma azul tem probabilidade p e a média é p.

Resposta

P(X=0)= \dfrac{3}{5} , P(X=1)= \dfrac{2}{5}
E[X]= \dfrac{2}{5}=0,4

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