Uma urna tem 10 bolas azuis e 40 amarelas.
Qual a probabilidade de que em 30 bolas retiradas com reposição ocorram no máximo duas azuis?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, em 30 retiradas com reposição, ocorram no máximo 2 bolas azuis.
Informações dadas:
  • 10 bolas azuis e 40 bolas amarelas na urna.
  • O total de bolas é 10+40=50.
  • Serão feitas 30 retiradas com reposição.
  • Queremos a probabilidade de ocorrerem 0, 1 ou 2 bolas azuis nas 30 retiradas.

Passo 2

Modelagem do experimento (aula rápida e prática): cada retirada com reposição é um ensaio onde podem ocorrer dois resultados: “azul” (sucesso) ou “não azul” (fracasso). Esses ensaios são independentes entre si por causa da reposição. Quando temos n ensaios independentes com mesma probabilidade de sucesso p, o número de sucessos X segue a distribuição binomial.
A fórmula da probabilidade na binomial é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}
onde:
  • n é o número de ensaios (aqui n=30);
  • k é o número de sucessos que queremos (aqui k=0,1,2);
  • p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui: tirar azul);
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial que conta de quantas maneiras podemos escolher quais k ensaios dentre n tiveram sucesso.

Passo 3

Calcular p (probabilidade de tirar azul em uma retirada):
p=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}.
Logo 1-p=\frac{4}{5}. Vamos também usar a notação n=30.

Passo 4

A probabilidade pedida é
P(X\le 2)=\sum_{k=0}^{2}\binom{30}{k}\left(\frac{1}{5}\right)^{k}\left(\frac{4}{5}\right)^{30-k}.
Isso significa somar as probabilidades de X=0, X=1 e X=2.

Passo 5

Calcular os coeficientes binomiais necessários:
\binom{30}{0}=1,\qquad \binom{30}{1}=30,\qquad \binom{30}{2}=\frac{30\cdot29}{2}=435.

Passo 6

Vamos calcular cada termo separadamente. Para facilitar, trabalharemos em decimal com p=0,2 e 1-p=0,8.
Termo k=0:
P(X=0)=\binom{30}{0}(0,2)^{0}(0,8)^{30}=(0,8)^{30}.
Para calcular (0,8)^{30} em etapas: (0,8)^{10}\approx0,1073741824, (0,8)^{20}\approx0,011529215046068483, e portanto
(0,8)^{30}=(0,8)^{20}\cdot(0,8)^{10}\approx0,011529215046068483\cdot0,1073741824\approx0,0012379400392853803.
Termo k=1:
P(X=1)=\binom{30}{1}(0,2)(0,8)^{29}=30\cdot0,2\cdot(0,8)^{29}=6\cdot(0,8)^{29}.
Usamos (0,8)^{29}=(0,8)^{30}/0,8, então
(0,8)^{29}\approx\frac{0,0012379400392853803}{0,8}\approx0,0015474250491067254,
portanto
P(X=1)\approx6\cdot0,0015474250491067254\approx0,009284550294640352.
Termo k=2:
P(X=2)=\binom{30}{2}(0,2)^{2}(0,8)^{28}=435\cdot0,04\cdot(0,8)^{28}=17,4\cdot(0,8)^{28}.
Usamos (0,8)^{28}=(0,8)^{30}/(0,8)^{2}=(0,8)^{30}/0,64, então
(0,8)^{28}\approx\frac{0,0012379400392853803}{0,64}\approx0,001933656\,,
e
P(X=2)\approx17,4\cdot0,001933656\approx0,0336456144.

Passo 7

Somar os três termos para obter P(X\le2):
P(X\le2)\approx0,0012379400392853803+0,009284550294640352+0,0336456144\approx0,044168104734.
Interpretação: a probabilidade de, em 30 retiradas com reposição, ocorrerem no máximo 2 bolas azuis é aproximadamente 4,4168\%. Você pode arredondar conforme o nível de precisão desejado (por exemplo 0,04417).

Resposta

\displaystyle P(X\le2)=\sum_{k=0}^{2}\binom{30}{k}\left(\tfrac{1}{5}\right)^{k}\left(\tfrac{4}{5}\right)^{30-k}\approx0,04417

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