Usando auxílio de algum software, plote a resposta de um sistema de 1 gdl criticamente amortecido com as seguintes características:
x0=10,50,100[mm], dotx0=0[m / s] e omegan=10[rad / s]

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado pede pra gente usar um software (por exemplo Python, MATLAB, etc.) e plotar a resposta de um sistema massa-mola-amortecedor de 1 grau de liberdade, criticamente amortecido, com:
• Condições iniciais de deslocamento x0 = 10,;50,;100,mm
• Velocidade inicial dot x0 = 0,m/s
• Frequência natural omegan=10,rad/s
Matéria envolvida: resposta livre de sistemas de 1 GDL com amortecimento crítico. Vamos precisar da forma da solução para zeta=1 (amortecimento crítico) e depois de um pedaço de código pra gerar o gráfico.

Passo 2

Teoria do que está rolando: para um sistema massa-mola-amortecedor sem forçamento, a EDO é
mddot x + cdot x + kx = 0
A razão de amortecimento é zeta = c/(2momegan). Em amortecimento crítico zeta=1, então c = 2momegan.
A solução geral para zeta=1 é
x(t) = l(C1 + C2,tr),e^-omegan t

Passo 3

Agora aplicamos as condições iniciais em t=0:
  1. x(0)=C1 = x0.
  2. dot x(t) = l(C2 - omegan C1 + C2(-omegan t)r)e^-omegan t, mas em t=0: dot x(0)=C2 - omegan C1 = 0 ;Longrightarrow; C2 = omegan,C1 = omegan,x0
    Logo
    x(t) = l(x0 + omegan,x0,tr)e^-omegan t = x0,(1 + omegan t),e^-omegan t

Passo 4

Basta agora fazer um script rápido pra plotar as três curvas (para x0=10,50,100,mm). Exemplo em Python com Matplotlib:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

ωn = 10.0  # rad/s
t = np.linspace(0, 1.0, 500)  # tempo de 0 a 1s
x0_list = [10, 50, 100]  # em mm

plt.figure()
for x0 in x0_list:
    x = x0*(1 + ωn*t)*np.exp(-ωn*t)
    plt.plot(t, x, label=f'x0={x0} mm')

plt.xlabel('t (s)')
plt.ylabel('x(t) (mm)')
plt.title('Resposta livre criticamente amortecida')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Passo 5

Se você rodar isso, vai ver três curvas que começam em 10, 50 e 100 mm, sobem levemente (devido ao termo 1+omegan t) e depois caem suave sem oscilar – típico de amortecimento crítico. Quanto maior x0, maior a curva, mas todas decaem com a mesma rapidez.

Resposta

A resposta completa é o código acima, que gera o gráfico de
x(t) = x0,(1 + 10,t),e^-10,t
para x0 = 10,50,100,mm. Isso mostra a resposta livre criticamente amortecida pedida.

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