Usando auxílio de algum software, plote a resposta de um sistema de 1 gdl criticamente amortecido com as seguintes características:
e
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado pede pra gente usar um software (por exemplo Python, MATLAB, etc.) e plotar a resposta de um sistema massa-mola-amortecedor de 1 grau de liberdade, criticamente amortecido, com:
• Condições iniciais de deslocamento mm
• Velocidade inicial m/s
• Frequência natural rad/s
• Condições iniciais de deslocamento
• Velocidade inicial
• Frequência natural
Matéria envolvida: resposta livre de sistemas de 1 GDL com amortecimento crítico. Vamos precisar da forma da solução para
(amortecimento crítico) e depois de um pedaço de código pra gerar o gráfico.
Passo 2
Teoria do que está rolando: para um sistema massa-mola-amortecedor sem forçamento, a EDO é
A razão de amortecimento é
A solução geral para
Passo 3
Agora aplicamos as condições iniciais em
:
-
. -
, mas em :
Logo
Passo 4
Basta agora fazer um script rápido pra plotar as três curvas (para
mm). Exemplo em Python com Matplotlib:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
ωn = 10.0 # rad/s
t = np.linspace(0, 1.0, 500) # tempo de 0 a 1s
x0_list = [10, 50, 100] # em mm
plt.figure()
for x0 in x0_list:
x = x0*(1 + ωn*t)*np.exp(-ωn*t)
plt.plot(t, x, label=f'x0={x0} mm')
plt.xlabel('t (s)')
plt.ylabel('x(t) (mm)')
plt.title('Resposta livre criticamente amortecida')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
Passo 5
Se você rodar isso, vai ver três curvas que começam em 10, 50 e 100 mm, sobem levemente (devido ao termo
) e depois caem suave sem oscilar – típico de amortecimento crítico. Quanto maior
, maior a curva, mas todas decaem com a mesma rapidez.
Resposta
A resposta completa é o código acima, que gera o gráfico de
para