Usando o Círculo de Mohr, determine:
\begin{aligned} & \sigma x=180 \mathrm{MPa} \\\ & \sigma x y=-150 \mathrm{MPa} \end{aligned}
As tensões principais;
b) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto. Especifique a orientação do elemento em cada caso.

Passo 1

O enunciado nos dá um estado de tensão plano com
\sigma_x = 180\text{ MPa}, \sigma_y = 0\text{ MPa} (assumido) e \tau_{xy} = -150\text{ MPa}.
Vamos usar o Círculo de Mohr para obter as tensões principais, a tensão de cisalhamento máxima e a tensão normal média, bem como as orientações dos planos onde elas ocorrem.

Passo 2

Calcular a tensão normal média \sigma_\mathrm{m}, que é o centro do Círculo de Mohr:
\sigma_\mathrm{m}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}
Substituindo,
\sigma_\mathrm{m}=\frac{180+0}{2}=90\text{ MPa}.

Passo 3

Calcular o raio R do Círculo de Mohr, dado por
R=\sqrt{\biggl(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\biggr)^2+\tau_{xy}^{2}}.
Como \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=\frac{180}{2}=90 e \tau_{xy}=-150,
R=\sqrt{90^2+(-150)^2} =\sqrt{8100+22500} =\sqrt{30600}\approx174{,}93\text{ MPa}.

Passo 4

As tensões principais são
\sigma_{1,2}=\sigma_\mathrm{m}\pm R.
Logo,
\sigma_1=90+174{,}93=264{,}93\text{ MPa},\quad \sigma_2=90-174{,}93=-84{,}93\text{ MPa}.

Passo 5

Determinar a orientação \theta_p do plano onde atua \sigma_1 (ângulo medido a partir do eixo x positivo, positivo no sentido anti-horário). Usa-se
\tan(2\theta_p) =\frac{2\,\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y} =\frac{2\cdot(-150)}{180} =-1{,}6667.
Assim
2\theta_p=\arctan(-1{,}6667)\approx -59{,}04^\circ \quad\Longrightarrow\quad \theta_p\approx -29{,}52^\circ
(isto é, girar cerca de 29{,}5^\circ no sentido horário a partir do eixo x para alinhar com o plano de \sigma_1).

Passo 6

A tensão de cisalhamento máxima num plano é justamente o raio do círculo,
\tau_\text{máx}=R\approx174{,}93\text{ MPa},á
e a tensão normal média nesse plano é \sigma_\mathrm{m}=90\text{ MPa}. A orientação desses planos de cisalhamento máximo difere da de \sigma_1 em 45^\circ:
\theta_s=\theta_p+45^\circ \approx -29{,}52^\circ+45^\circ \approx15{,}48^\circ.
Ou seja, girar cerca de 15{,}5^\circ no sentido anti-horário a partir do eixo x alinha o plano de cisalhamento máximo.

Resposta

As tensões principais são
\sigma_1\approx264{,}93\text{ MPa} e \sigma_2\approx-84{,}93\text{ MPa},
no plano \theta_p\approx-29{,}5^\circ (sentido horário a partir de x).
A tensão de cisalhamento máxima vale \tau_\text{máx}\approx174{,}93\text{ MPa}á com tensão normal média \sigma_\mathrm{m}=90\text{ MPa},
no plano \theta_s\approx15{,}5^\circ (anti-horário a partir de x).

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