EXEMPLO 5 Calcule \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}, onde \mathbf{F}(x, y, z)=y \mathbf{i}+x \mathbf{j}+z \mathbf{k} e S é o limite da região sólida E delimitada pelo paraboloide z=1-x^{2}-y^{2} e o plano z=0.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}
onde \mathbf{F}(x,y,z)=y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k} e S é a superfície fechada que delimita a região sólida E sob o paraboloide z=1-x^2-y^2 e acima do plano z=0.
O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência de Gauss, que relaciona o fluxo de \mathbf{F} através de S ao integral triplo da divergência de \mathbf{F} sobre E.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência de Gauss, temos
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iiint_{E}\bigl(\nabla\cdot\mathbf{F}\bigr)\,dV.

Passo 3

Calculamos a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(y) +\frac{\partial}{\partial y}(x) +\frac{\partial}{\partial z}(z) =0+0+1 =1.

Passo 4

Logo
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iiint_{E}1\,dV =\text{Vol}(E).
A região E é dada por \{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le1,\;0\le z\le1-x^2-y^2\}.
Portanto sua volume é
\int_{D}(1-x^2-y^2)\,dA,
onde D é o disco x^2+y^2\le1.

Passo 5

Em coordenadas polares (r,\theta):
dA = r\,dr\,d\theta,\quad x^2+y^2=r^2,\quad 0\le r\le1,\quad 0\le\theta\le2\pi.
Assim
\text{Vol}(E) =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}(1-r^2)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calculando a integral em r:
\int_{0}^{1}(r - r^3)\,dr =\Bigl[\tfrac{r^2}{2}-\tfrac{r^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac12-\tfrac14 =\tfrac14.
Então
\text{Vol}(E) = \int_{0}^{2\pi}\tfrac14\,d\theta = \tfrac14\cdot2\pi = \tfrac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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