EXEMPLO 5 Calcule
, onde
e
é o limite da região sólida
delimitada pelo paraboloide
e o plano
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
onde
e
é a superfície fechada que delimita a região sólida
sob o paraboloide
e acima do plano
.
O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência de Gauss, que relaciona o fluxo de através de
ao integral triplo da divergência de
sobre
.
O conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência de Gauss, que relaciona o fluxo de
Passo 2
Pelo Teorema da Divergência de Gauss, temos
Passo 3
Calculamos a divergência de
:
Passo 4
Logo
A região
é dada por
.
Portanto sua volume é
Portanto sua volume é
onde
é o disco
.
Passo 5
Em coordenadas polares
:
Assim
Passo 6
Calculando a integral em
:
Então