Usando as consequências da definição de logaritmos, calcule
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule
Informações relevantes dadas:
- Temos duas equações logarítmicas que envolvem .
- É implícito que os argumentos dos logaritmos devem ser positivos: logo
(ou seja, ) e e — estas últimas já são verdadeiras para todo . - A pergunta final é simplesmente o valor numérico de
.]
Passo 2
Vamos analisar a primeira equação. Uma propriedade básica e muito útil dos logaritmos é:
porque pela definição de logaritmo
significa
, e a potência que dá
é
(pois
). Aqui temos
, então imediatamente
Portanto a primeira equação fica
.
Passo 3
Agora interpretamos
. Pelo significado do logaritmo, isto quer dizer que a potência de
que dá
é
. Em símbolos:
Sabendo que
, obtemos
Assim
Também verificamos a condição de domínio:
. Como
, está OK.
Passo 4
Agora a segunda equação. Há duas maneiras equivalentes e simples de tratá‑la:
Método A (igualdade de logaritmos de mesma base): se
com
e
, então
. Aplicando isso diretamente a
podemos concluir que
Método B (propriedade do expoente dentro do log): usar
e igualar com
, mas o Método A é mais direto aqui. Vou seguir pelo Método A.
Passo 5
Resolver
. Reconhecemos
como potência de
:
Então
já que a função exponencial base
é injetora (ou, dito de forma prática, potências da mesma base iguais têm expoentes iguais). Não há problema de domínio aqui porque
para todo
.
Passo 6
Agora que temos
e
, somamos: