Usando as consequências da definição de logaritmos, calcule p+q .\left\{\begin{array}{l}\log _{6}(p-5)=\log _{4} 1 \\\ \log _{10} 7^{q}=\log _{10} 343\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule p+q\) sabendo que \(p\) e \(q\) satisfazem o sistema \[\begin{cases} \log_{6}(p-5)=\log_{4}1,\\[4pt] \log_{10}7^{q}=\log_{10}343. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
  • Temos duas equações logarítmicas que envolvem p\] e \(q.
  • É implícito que os argumentos dos logaritmos devem ser positivos: logo p-5>0 (ou seja, p>5) e 7^{q}>0 e 343>0 — estas últimas já são verdadeiras para todo q.
  • A pergunta final é simplesmente o valor numérico de p+q.]

Passo 2

Vamos analisar a primeira equação. Uma propriedade básica e muito útil dos logaritmos é:
\log_{a}1=0\quad\text{para qualquer base }a>0,\\ a\neq1,
porque pela definição de logaritmo \log_{a}1=x significa a^{x}=1, e a potência que dá 1 é x=0 (pois a^{0}=1). Aqui temos \log_{4}1, então imediatamente
\log_{4}1=0.
Portanto a primeira equação fica \log_{6}(p-5)=0.

Passo 3

Agora interpretamos \log_{6}(p-5)=0. Pelo significado do logaritmo, isto quer dizer que a potência de 6 que dá p-5 é 0. Em símbolos:
\log_{6}(p-5)=0 \Longleftrightarrow 6^{0}=p-5.
Sabendo que 6^{0}=1, obtemos
p-5=1.
Assim
p=1+5=6.
Também verificamos a condição de domínio: p>5. Como p=6, está OK.

Passo 4

Agora a segunda equação. Há duas maneiras equivalentes e simples de tratá‑la:
Método A (igualdade de logaritmos de mesma base): se \log_{b}X=\log_{b}Y com b>0,\\ b\neq1 e X,Y>0, então X=Y. Aplicando isso diretamente a
\log_{10}7^{q}=\log_{10}343,
podemos concluir que
7^{q}=343.
Método B (propriedade do expoente dentro do log): usar \log_{10}7^{q}=q\log_{10}7 e igualar com \log_{10}343, mas o Método A é mais direto aqui. Vou seguir pelo Método A.

Passo 5

Resolver 7^{q}=343. Reconhecemos 343 como potência de 7:
343=7^{3}\quad\text{porque }7\cdot7\cdot7=343.
Então
7^{q}=7^{3}\Longrightarrow q=3,
já que a função exponencial base 7 é injetora (ou, dito de forma prática, potências da mesma base iguais têm expoentes iguais). Não há problema de domínio aqui porque 7^{q}>0 para todo q.

Passo 6

Agora que temos p e q, somamos:
p+q=6+3=9.

Resposta

\,9

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