Qual o número cujo logaritmo na base \sqrt[3]{9} é igual a 0,75 .

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\log_{\sqrt[3]{9}} x = 0,75
e pede para encontrar x. Informações relevantes: a base do logaritmo é \sqrt[3]{9} e o valor do logaritmo é 0,75. A incógnita é x.

Passo 2

Lembra da definição básica de logaritmo: se
\log_{b} a = c
então isso significa exatamente que
b^{c} = a.
Aqui b é a base do logaritmo, a é o número cujo logaritmo estamos tomando, e c é o resultado do logaritmo. Exemplo rápido para fixar: \log_{10}100=2 porque 10^{2}=100.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso problema, temos
x = \left(\sqrt[3]{9}\right)^{0,75}.
É mais prático trabalhar com frações em expoentes, então trocamos 0,75 pela fração equivalente:
0,75 = \frac{3}{4}.
Logo
x = \left(\sqrt[3]{9}\right)^{\frac{3}{4}}.

Passo 4

Agora usamos a regra de potências que diz que \left(a^{m}\right)^{n} = a^{mn}. Escrevemos a raiz cúbica como potência:
\sqrt[3]{9} = 9^{\frac{1}{3}}.
Substituindo em x,
x = \left(9^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{3}{4}} = 9^{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}}.

Passo 5

Calculamos o produto dos expoentes:
\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1\cancel{3}}{\cancel{3}4}=\frac{1}{4}.
Portanto
x = 9^{\frac{1}{4}}.

Passo 6

Simplificamos 9^{\frac{1}{4}} escrevendo 9 como potência de 3: 9=3^{2}. Assim
9^{\frac{1}{4}} = \left(3^{2}\right)^{\frac{1}{4}} = 3^{2\cdot\frac{1}{4}} = 3^{\frac{2}{4}} = 3^{\frac{1}{2}}.
E 3^{\frac{1}{2}} é a raiz quadrada de 3.

Passo 7

Concluímos que
x = \sqrt{3}.

Resposta

\sqrt{3}

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