Usando a CONVERSÃO EM CADEIA transforme:
(a) 1 \mathrm{~m}^{2} \mathrm{em} \mathrm{km}^{2}, \mathrm{~cm}^{2}, \mathrm{~mm}^{2};
(b) 1 \mathrm{~m}^{3} \mathrm{em} \mathrm{km}^{3}, \mathrm{~cm}^{3}, \mathrm{~mm}^{3};
(c) 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \mathrm{em} \mathrm{cm} / \mathrm{min}, \mathrm{km} / \mathrm{h}, milhas/s;
(d) 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \mathrm{em} \mathrm{cm} / \mathrm{s}^{2}, \mathrm{~km} / \mathrm{min}^{2};
(e) 1 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \mathrm{em} \mathrm{g} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{~g} / \mathrm{km}^{3}, \mathrm{~g} / \mathrm{L}

Passo 1

O enunciado pede várias conversões usando a técnica da “conversão em cadeia”. Vou listar claramente o que é pedido e os dados que vou usar (essas são as unidades alvo que aparecem no enunciado):
  • (a) Converter 1\\ \mathrm{m}^2 para \mathrm{km}^2, \mathrm{cm}^2, \mathrm{mm}^2.
  • (b) Converter 1\\ \mathrm{m}^3 para \mathrm{km}^3, \mathrm{cm}^3, \mathrm{mm}^3.
  • (c) Converter 1\\ \mathrm{m/s} para \mathrm{cm/min}, \mathrm{km/h}, \text{milhas/s}.
  • (d) Converter 1\\ \mathrm{m/s}^2 para \mathrm{cm/s}^2, \mathrm{km/min}^2.
  • (e) Converter 1\\ \mathrm{kg/m}^3 para \mathrm{g/m}^3, \mathrm{g/km}^3, \mathrm{g/L}.
Informações básicas de conversão que vou usar (valores padrão):
  • 1\\ \mathrm{km} = 1000\\ \mathrm{m}.
  • 1\\ \mathrm{m} = 100\\ \mathrm{cm}.
  • 1\\ \mathrm{m} = 1000\\ \mathrm{mm}.
  • 1\\ \mathrm{min} = 60\\ \mathrm{s}.
  • 1\\ \mathrm{h} = 3600\\ \mathrm{s}.
  • 1\\ \text{milha} = 1609{,}344\\ \mathrm{m}.
  • 1\\ \mathrm{L} = 1\\ \mathrm{dm}^3 = 0{,}001\\ \mathrm{m}^3.

Passo 2

Breve explicação didática da “conversão em cadeia” e como lidar com potências (áreas/volumes):
  • Ideia da conversão em cadeia: multiplicar pela unidade conveniente escrita como 1 (por exemplo \dfrac{100\\ \mathrm{cm}}{1\\ \mathrm{m}}=1) de modo a cancelar as unidades indesejadas e introduzir as desejadas.
  • Quando unidades lineares são elevadas a uma potência (área: quadrado, volume: cubo), deve-se elevar o fator de conversão à mesma potência. Exemplo: para converter metros quadrados para centímetros quadrados usa-se \big(100\\ \mathrm{cm}/1\\ \mathrm{m}\big)^2.
  • Para velocidades e acelerações que envolvem tempo, trate numerador e denominador separadamente, lembrando que converter segundos para minutos altera fatores ao quadrado quando há s^2.

Passo 3

(a) Converter 1\\ \mathrm{m}^2.
  • Para \mathrm{km}^2: aplicar o fator linear 1\\ \mathrm{km}=1000\\ \mathrm{m} ao quadrado.
1\\ \mathrm{m}^2 = 1\cdot\left(\dfrac{1\\ \mathrm{km}}{1000\\ \mathrm{m}}\right)^2 = \left(\dfrac{1}{1000}\right)^2\\ \mathrm{km}^2 = 10^{-6}\\ \mathrm{km}^2.
  • Para \mathrm{cm}^2: usar 1\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{cm} ao quadrado.
1\\ \mathrm{m}^2 = 1\cdot\left(\dfrac{100\\ \mathrm{cm}}{1\\ \mathrm{m}}\right)^2 = 100^2\\ \mathrm{cm}^2 = 10^{4}\\ \mathrm{cm}^2.
  • Para \mathrm{mm}^2: usar 1\\ \mathrm{m}=1000\\ \mathrm{mm} ao quadrado.
1\\ \mathrm{m}^2 = \left(\dfrac{1000\\ \mathrm{mm}}{1\\ \mathrm{m}}\right)^2 = 1000^2\\ \mathrm{mm}^2 = 10^{6}\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 4

(b) Converter 1\\ \mathrm{m}^3.
  • Para \mathrm{km}^3: elevar o fator linear a 3.
1\\ \mathrm{m}^3 = \left(\dfrac{1\\ \mathrm{km}}{1000\\ \mathrm{m}}\right)^3 = \left(\dfrac{1}{1000}\right)^3\\ \mathrm{km}^3 = 10^{-9}\\ \mathrm{km}^3.
  • Para \mathrm{cm}^3: usar 1\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{cm} ao cubo.
1\\ \mathrm{m}^3 = \left(\dfrac{100\\ \mathrm{cm}}{1\\ \mathrm{m}}\right)^3 = 100^3\\ \mathrm{cm}^3 = 10^{6}\\ \mathrm{cm}^3.
  • Para \mathrm{mm}^3: usar 1\\ \mathrm{m}=1000\\ \mathrm{mm} ao cubo.
1\\ \mathrm{m}^3 = \left(\dfrac{1000\\ \mathrm{mm}}{1\\ \mathrm{m}}\right)^3 = 1000^3\\ \mathrm{mm}^3 = 10^{9}\\ \mathrm{mm}^3.

Passo 5

(c) Converter 1\\ \mathrm{m/s}.
  • Para \mathrm{cm/min}:
    Primeiro converte-se metros para centímetros e depois segundos para minutos. Use \dfrac{100\\ \mathrm{cm}}{1\\ \mathrm{m}} e \dfrac{1\\ \mathrm{min}}{60\\ \mathrm{s}}.
1\\ \mathrm{m/s} = 1\cdot\left(\dfrac{100\\ \mathrm{cm}}{1\\ \mathrm{m}}\right)\cdot\left(\dfrac{60\\ \mathrm{s}}{1\\ \mathrm{min}}\right) = 100\cdot 60\\ \dfrac{\mathrm{cm}}{\mathrm{min}} = 6000\\ \mathrm{cm/min}.
(Explicação: ao trocar o denominador de segundos por minutos, multiplica-se por 60 porque 1\\ \mathrm{min}=60\\ \mathrm{s}.)
  • Para \mathrm{km/h}:
    Converter metros para quilômetros e segundos para horas:
1\\ \mathrm{m/s} = 1\cdot\left(\dfrac{1\\ \mathrm{km}}{1000\\ \mathrm{m}}\right)\cdot\left(\dfrac{3600\\ \mathrm{s}}{1\\ \mathrm{h}}\right) = \dfrac{3600}{1000}\\ \mathrm{km/h} = 3{,}6\\ \mathrm{km/h}.
  • Para \text{milhas/s}:
    Usar 1\\ \text{milha}=1609{,}344\\ \mathrm{m}. Como queremos milhas por segundo:
1\\ \mathrm{m/s} = \left(\dfrac{1\\ \text{milha}}{1609{,}344\\ \mathrm{m}}\right)\\ \mathrm{m/s} = \dfrac{1}{1609{,}344}\\ \text{milhas/s}.
Valor decimal aproximado:
\dfrac{1}{1609{,}344}\approx 0{,}000621371\\ \text{milhas/s}.

Passo 6

(d) Converter 1\\ \mathrm{m/s}^2.
  • Para \mathrm{cm/s}^2: só trocar metros por centímetros (tempo em segundos já está igual).
1\\ \mathrm{m/s}^2 = \left(\dfrac{100\\ \mathrm{cm}}{1\\ \mathrm{m}}\right)\cdot 1\\ \mathrm{m/s}^2 = 100\\ \mathrm{cm/s}^2.
  • Para \mathrm{km/min}^2:
    Converter metros para quilômetros e segundos ao quadrado para minutos ao quadrado. Use 1\\ \mathrm{m}=0{,}001\\ \mathrm{km} e 1\\ \mathrm{s}=1/60\\ \mathrm{min}, logo 1\\ \mathrm{s}^2=(1/60)^2\\ \mathrm{min}^2. É mais direto usar a forma:
1\\ \mathrm{m/s}^2 = \left(\dfrac{0{,}001\\ \mathrm{km}}{1\\ \mathrm{m}}\right)\cdot\left(\dfrac{3600\\ \mathrm{s}^2}{1\\ \mathrm{h}^2}\right)\\ \text{(não usar hora aqui)}.ã
Mas vou fazer passo a passo com minutos:
1\\ \mathrm{m/s}^2 = 1\cdot\left(\dfrac{0{,}001\\ \mathrm{km}}{1\\ \mathrm{m}}\right)\cdot\left(\dfrac{60^2\\ \mathrm{s}^2}{1\\ \mathrm{min}^2}\right) = 0{,}001\cdot 3600\\ \mathrm{km/min}^2 = 3{,}6\\ \mathrm{km/min}^2.
(Detalhe: como 1\\ \mathrm{min}=60\\ \mathrm{s}, então 1\\ \mathrm{s}^2=(1/60^2)\\ \mathrm{min}^2, daí multiplicar por 60^2=3600.)

Passo 7

(e) Converter 1\\ \mathrm{kg/m}^3.
  • Para \mathrm{g/m}^3: 1\\ \mathrm{kg}=1000\\ \mathrm{g}, o volume em denominador permanece em \mathrm{m}^3.
1\\ \mathrm{kg/m}^3 = \dfrac{1000\\ \mathrm{g}}{1\\ \mathrm{m}^3} = 1000\\ \mathrm{g/m}^3.
  • Para \mathrm{g/km}^3: convém converter o denominador \mathrm{m}^3 para \mathrm{km}^3. Já sabemos que 1\\ \mathrm{m}^3 = 10^{-9}\\ \mathrm{km}^3. Então:
1\\ \mathrm{kg/m}^3 = \dfrac{1000\\ \mathrm{g}}{1\\ \mathrm{m}^3} = \dfrac{1000\\ \mathrm{g}}{10^{-9}\\ \mathrm{km}^3} = 1000\cdot 10^{9}\\ \mathrm{g/km}^3 = 10^{12}\\ \mathrm{g/km}^3.
  • Para \mathrm{g/L}: usar 1\\ \mathrm{m}^3 = 1000\\ \mathrm{L}. Então
1\\ \mathrm{kg/m}^3 = \dfrac{1000\\ \mathrm{g}}{1000\\ \mathrm{L}} = 1\\ \mathrm{g/L}.
(Interpretação prática: densidade de 1\\ \mathrm{kg/m}^3 é a mesma que 1\\ \mathrm{g} por litro.)

Resposta

(a) 1\\ \mathrm{m}^2 = 10^{-6}\\ \mathrm{km}^2
1\\ \mathrm{m}^2 = 10^{4}\\ \mathrm{cm}^2
1\\ \mathrm{m}^2 = 10^{6}\\ \mathrm{mm}^2
(b) 1\\ \mathrm{m}^3 = 10^{-9}\\ \mathrm{km}^3
1\\ \mathrm{m}^3 = 10^{6}\\ \mathrm{cm}^3
1\\ \mathrm{m}^3 = 10^{9}\\ \mathrm{mm}^3
(c) 1\\ \mathrm{m/s} = 6000\\ \mathrm{cm/min}
1\\ \mathrm{m/s} = 3{,}6\\ \mathrm{km/h}
1\\ \mathrm{m/s} \approx 0{,}000621371\\ \text{milhas/s}
(d) 1\\ \mathrm{m/s}^2 = 100\\ \mathrm{cm/s}^2
1\\ \mathrm{m/s}^2 = 3{,}6\\ \mathrm{km/min}^2
(e) 1\\ \mathrm{kg/m}^3 = 1000\\ \mathrm{g/m}^3
1\\ \mathrm{kg/m}^3 = 10^{12}\\ \mathrm{g/km}^3
1\\ \mathrm{kg/m}^3 = 1\\ \mathrm{g/L}

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