Usando o critério adequado, analise a convergência das seguintes séries:
\sum n^{k} a^{n}, 0<a<1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{k} a^{n},
onde está dado que 0<a<1. Vou listar as informações relevantes que temos:
  • A soma é sobre n indo para infinito.
  • O termo geral é n^{k} a^{n}.
  • O parâmetro a é fixo e satisfaz 0<a<1.
  • k é um expoente fixo (assumir k\in\mathbb{R} — inteiro ou real não altera o argumento principal).
    A pergunta é: essa série converge ou diverge? Se convergir, queremos justificar bem por que converge (tipo de convergência: absoluta, condicional, etc.).

Passo 2

Apresentando o critério mais apropriado: o Teste da Raiz (root test). Vou ensinar e usar esse critério porque lida muito bem com fatores exponenciais como a^{n}.
Enunciado do Teste da Raiz (versão prática):
  • Para uma série \sum u_n com u_n\in\mathbb{R} ou \mathbb{C}, considere L=\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|u_n|}.
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Intuição curta: \sqrt[n]{|u_n|} mede o decaimento exponencial médio de u_n. Se esse decaimento médio é menor que 1, os termos decaem geometricamente e a soma converge.

Passo 3

Aplicando o Teste da Raiz ao nosso termo u_n = n^{k} a^{n}. Calculo a raiz n-ésima do módulo do termo:
\sqrt[n]{|u_n|}=\sqrt[n]{|n^{k} a^{n}|}=\sqrt[n]{n^{k}}\\ \sqrt[n]{|a|^{n}}.
Note que a>0 aqui, então |a|=a. Escrevendo explicitamente:
\sqrt[n]{|u_n|}=n^{k/n}\, a.

Passo 4

Agora preciso avaliar o limite (ou o limsup) quando n\to\infty de n^{k/n}\, a. Primeiro mostro que n^{k/n}\to 1 quando n\to\infty.
Prova de que n^{k/n}\to 1:
  • Tome logaritmo (função contínua): \ln\bigl(n^{k/n}\bigr)=\dfrac{k}{n}\ln n.
  • Como \ln n cresce mais devagar que n, tem-se \dfrac{\ln n}{n}\to 0 quando n\to\infty.
  • Portanto \dfrac{k}{n}\ln n \to 0.
  • Como o exponencial é contínuo, n^{k/n}=\exp\!\bigl(\tfrac{k}{n}\ln n\bigr)\to \exp(0)=1.
Assim
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|u_n|}=\lim_{n\to\infty} n^{k/n}\, a = 1\cdot a = a.

Passo 5

Aplicando o Teste da Raiz com o resultado anterior: o valor L é
L=\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|u_n|}=a.
Como foi dado que 0<a<1, temos L=a<1. Pelo Teste da Raiz, isso implica que a série \sum n^{k} a^{n} converge absolutamente.
Observação didática: dizer que converge absolutamente é forte — significa que a série de módulos \sum |n^{k} a^{n}| também converge, logo a própria série convergente sem ambiguidade de sinais. A razão prática é que o fator exponencial a^{n} (com 0<a<1) vence qualquer crescimento polinomial n^{k}; intuitivamente, exponencial decai muito mais rápido que polinômio cresce.

Passo 6

Para fixar a ideia, dou uma alternativa por comparação (mais intuitiva, sem o teste formal): para qualquer número r tal que a<r<1, nota-se que \dfrac{a}{r}<1. Como \lim_{n\to\infty} n^{k} \bigl(\dfrac{a}{r}\bigr)^{n}=0 (exponencial domina polinomial), existe N tal que para n\ge N vale n^{k} a^{n} \le r^{n}. Como \sum r^{n} é uma série geométrica convergente (razão r<1), por comparação a série original converge também. Esse argumento dá a mesma conclusão de forma mais heurística, reforçando que o decaimento exponencial vence o crescimento polinomial.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{k} a^{n} converge absolutamente para todo k\in\mathbb{R} sempre que 0<a<1.

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