Usando o critério adequado, analise a convergência das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
onde está dado que
. Vou listar as informações relevantes que temos:
- A soma é sobre
indo para infinito. - O termo geral é
. - O parâmetro
é fixo e satisfaz . -
é um expoente fixo (assumir — inteiro ou real não altera o argumento principal).
A pergunta é: essa série converge ou diverge? Se convergir, queremos justificar bem por que converge (tipo de convergência: absoluta, condicional, etc.).
Passo 2
Apresentando o critério mais apropriado: o Teste da Raiz (root test). Vou ensinar e usar esse critério porque lida muito bem com fatores exponenciais como
.
Enunciado do Teste da Raiz (versão prática):
- Para uma série
com ou , considere - Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Intuição curta:
mede o decaimento exponencial médio de
. Se esse decaimento médio é menor que
, os termos decaem geometricamente e a soma converge.
Passo 3
Aplicando o Teste da Raiz ao nosso termo
. Calculo a raiz
-ésima do módulo do termo:
Note que
aqui, então
. Escrevendo explicitamente:
Passo 4
Agora preciso avaliar o limite (ou o limsup) quando
de
. Primeiro mostro que
quando
.
Prova de que
:
- Tome logaritmo (função contínua):
. - Como
cresce mais devagar que , tem-se quando . - Portanto
. - Como o exponencial é contínuo,
.
Assim
Passo 5
Aplicando o Teste da Raiz com o resultado anterior: o valor
é
Como foi dado que
, temos
. Pelo Teste da Raiz, isso implica que a série
converge absolutamente.
Observação didática: dizer que converge absolutamente é forte — significa que a série de módulos
também converge, logo a própria série convergente sem ambiguidade de sinais. A razão prática é que o fator exponencial
(com
) vence qualquer crescimento polinomial
; intuitivamente, exponencial decai muito mais rápido que polinômio cresce.
Passo 6
Para fixar a ideia, dou uma alternativa por comparação (mais intuitiva, sem o teste formal): para qualquer número
tal que
, nota-se que
. Como
(exponencial domina polinomial), existe
tal que para
vale
. Como
é uma série geométrica convergente (razão
), por comparação a série original converge também. Esse argumento dá a mesma conclusão de forma mais heurística, reforçando que o decaimento exponencial vence o crescimento polinomial.