Usando o critério adequado, analise a convergência das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série cujos termos são
Ou seja, a série é
Informações fornecidas e observações iniciais:
- Cada termo
é positivo para todo . - A pergunta é: esta série converge ou diverge?
Passo 2
Vamos recordar um teste muito útil e simples para séries com termos positivos: a série p (p-series).
- A p-série é
. - Teorema (teste da p-série):
converge se, e somente se, ; diverge se .
Breve justificativa (intuição): aplicar o teste da integral a. Esse integral converge somente quando , e portanto a série tem o mesmo critério.
Passo 3
Para comparar a série dada com uma p-série usaremos o Teste da Comparação Limite (Limit Comparison Test). Enunciado do teste:
- Se
e para todo e existir
com
, então
e
têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).
Aqui, é o termo da série que queremos estudar e
será uma série bem conhecida (uma p-série).
Aqui,
Passo 4
Escolha natural para comparar: observar o comportamento quando
é grande. Para
grande,
é aproximadamente
, então espera-se que
se comporte como
. Definimos
Agora calculamos o limite pedido no teste da comparação limite:
Reescrevendo
, obtemos
Agora fazemos o limite quando
:
Portanto
, que é um número finito e estritamente positivo.
Passo 5
Pelo Teste da Comparação Limite (já que
), a série
e a p-série
têm o mesmo comportamento (ou seja, convergem ambas ou divergem ambas). Mas pela regra da p-série, como
, a série
diverge. Logo a série original também diverge.
Observação alternativa curta: notou-se que
(ou seja,
), o que já basta para concluir que a série se comporta como a p-série com
e portanto diverge.
Resposta
A série diverge.