Usando o critério adequado, analise a convergência das seguintes séries:
\sum \frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série cujos termos são
a_n=\frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}+1}}.
Ou seja, a série é
\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}+1}}.
Informações fornecidas e observações iniciais:
  • Cada termo a_n é positivo para todo n\ge1.
  • A pergunta é: esta série converge ou diverge?

Passo 2

Vamos recordar um teste muito útil e simples para séries com termos positivos: a série p (p-series).
  • A p-série é \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}}.
  • Teorema (teste da p-série): \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1; diverge se p\le1.
    Breve justificativa (intuição): aplicar o teste da integral a \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx. Esse integral converge somente quando p>1, e portanto a série tem o mesmo critério.

Passo 3

Para comparar a série dada com uma p-série usaremos o Teste da Comparação Limite (Limit Comparison Test). Enunciado do teste:
  • Se a_n>0 e b_n>0 para todo n e existir
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
com 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).
Aqui, a_n é o termo da série que queremos estudar e b_n será uma série bem conhecida (uma p-série).

Passo 4

Escolha natural para comparar: observar o comportamento quando n é grande. Para n grande, n^{2}+1 é aproximadamente n^{2}, então espera-se que a_n se comporte como n^{-2/3}. Definimos
b_n=\frac{1}{n^{2/3}}.
Agora calculamos o limite pedido no teste da comparação limite:
\frac{a_n}{b_n} =\frac{\dfrac{1}{\sqrt[3]{n^{2}+1}}}{\dfrac{1}{n^{2/3}}} =\frac{n^{2/3}}{(n^{2}+1)^{1/3}}.
Reescrevendo n^{2/3}=(n^{2})^{1/3}, obtemos
\frac{a_n}{b_n}=\left(\frac{n^{2}}{n^{2}+1}\right)^{1/3}.
Agora fazemos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^{2}}{n^{2}+1}\right)^{1/3} =\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+1}\right)^{1/3} =\left(1\right)^{1/3}=1.
Portanto L=1, que é um número finito e estritamente positivo.

Passo 5

Pelo Teste da Comparação Limite (já que 0<L<\infty), a série \sum a_n e a p-série \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n^{2/3}} têm o mesmo comportamento (ou seja, convergem ambas ou divergem ambas). Mas pela regra da p-série, como p=\dfrac{2}{3}\le1, a série \sum \dfrac{1}{n^{2/3}} diverge. Logo a série original também diverge.
Observação alternativa curta: notou-se que a_n\sim n^{-2/3} (ou seja, \lim_{n\to\infty}a_n n^{2/3}=1), o que já basta para concluir que a série se comporta como a p-série com p=2/3 e portanto diverge.

Resposta

A série diverge.

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