Usando o critério da comparação, mostre a divergência de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a série
. Nosso objetivo aqui é usar o Critério da Comparação para mostrar que essa série não converge, ou seja, ela diverge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e comparar nosso termo com outro termo de uma série que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do termo geral da série quando
fica muito grande (quando
). Olhando para
, percebemos que os termos de maior grau no numerador e no denominador vão dominar.
Então, para
grande,
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a conhecida série
, que é a série harmônica. Sabemos que a série harmônica diverge.
Vamos ver se nosso termo
é maior ou igual a algum múltiplo de
para
suficientemente grande.
Passo 4
Vamos simplificar nosso termo:
Quando
é grande,
e
vão perto de zero, então:
Isso mostra que para
grande, nosso termo é comparável a
, que é um múltiplo constante da série harmônica.
Passo 5
Segundo o Critério da Comparação, se
para alguma constante
e para todo
a partir de um certo ponto, e sabemos que
diverge, então nossa série também diverge.
Como vimos que
, podemos concluir que nossa série se comporta como a série harmônica multiplicada por 2, e portanto, também diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Critério da Comparação.