Usando o critério da comparação, mostre a divergência de:
sumk=0^infty 2 k-9k^2-3 k+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série . Nosso objetivo aqui é usar o Critério da Comparação para mostrar que essa série não converge, ou seja, ela diverge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e comparar nosso termo com outro termo de uma série que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do termo geral da série quando fica muito grande (quando ). Olhando para , percebemos que os termos de maior grau no numerador e no denominador vão dominar.
Então, para grande, se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a conhecida série , que é a série harmônica. Sabemos que a série harmônica diverge.
Vamos ver se nosso termo é maior ou igual a algum múltiplo de para suficientemente grande.

Passo 4

Vamos simplificar nosso termo:
2k - 9k^2 - 3k + 4 = 2 - 9kk - 3 + 4k
Quando 2k - 9k^2 - 3k + 4 approx 2k é grande, e vão perto de zero, então:
Isso mostra que para grande, nosso termo é comparável a , que é um múltiplo constante da série harmônica.

Passo 5

Segundo o Critério da Comparação, se para alguma constante e para todo a partir de um certo ponto, e sabemos que diverge, então nossa série também diverge.
Como vimos que , podemos concluir que nossa série se comporta como a série harmônica multiplicada por 2, e portanto, também diverge.

Resposta

A série diverge pelo Critério da Comparação.

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