Usando o critério de Routh determine quais dentre os polinômios abaixo são estáveis, e para os instáveis determine o número de raízes em
.
s^{4}+5 s^{3}+8 s^{2}+10 s+16
s^{4}+5 s^{3}+8 s^{2}+10 s+16
Passo 1
O enunciado pede: usando o critério de Routh, determinar se o polinômio abaixo é estável e, se for instável, determinar o número de raízes em
(semiplano direito).
Informações relevantes do enunciado que vamos usar: os coeficientes do polinômio são, em ordem decrescente de potência de
,
Passo 2
Breve explicação do método (aula rápida e prática): o critério de Routh diz que, para um polinômio com coeficientes reais, o número de raízes com parte real positiva (no semiplano direito
) é igual ao número de trocas de sinal na primeira coluna da tabela de Routh construída a partir dos coeficientes. Então, para usar o critério:
- Montamos as duas primeiras linhas da tabela com os coeficientes alternados.
- Cada elemento subsequente da tabela é calculado por uma fórmula do tipo “determinante dividido pelo primeiro elemento da linha anterior”. Formalmente, se temos duas linhas consecutivas cujos primeiros elementos são
(linha superior) e (linha inferior), e queremos calcular o elemento que combina as colunas e , então o elemento é
Vou aplicar isso passo a passo no polinômio dado. Lembre-se: conte apenas as trocas de sinal na primeira coluna, de cima para baixo.
Passo 3
Escrevendo as duas primeiras linhas da tabela de Routh a partir dos coeficientes (linha do grau par e do grau ímpar):
Observação: coloquei um
onde não há coeficiente correspondente para manter a forma retangular.
Passo 4
Agora calculamos a primeira entrada da linha
usando a fórmula explicada. Tomando
(primeira entrada de
) e
(primeira entrada de
), e usando as colunas seguintes:
Passo 5
Calculamos a segunda entrada da linha
(usando a mesma fórmula, com as colunas adequadas):
Portanto a linha
fica:
Passo 6
Agora montamos a linha
. A primeira entrada é (usando
e
— note que
é a primeira entrada da linha acima, isto é, da linha
):
A segunda entrada será zero porque envolve colunas onde já temos zeros:
Logo:
Passo 7
Finalmente, calculamos a linha
. Quando chegamos na última linha escalar, a entrada é obtida pelo mesmo determinante dividido pelo primeiro elemento da linha anterior; calculando explicitamente:
Portanto:
Passo 8
Reunindo a primeira coluna da tabela de Routh, de cima para baixo, temos:
Agora contamos as trocas de sinal nessa sequência (cada troca de sinal corresponde a uma raiz no semiplano direito
):
-
: sem troca (positivo para positivo). -
: sem troca (positivo para positivo). -
: uma troca (positivo para negativo). -
: uma segunda troca (negativo para positivo).
Ou seja, contabilizamos
trocas de sinal na primeira coluna.
Passo 9
Interpretação (como usar isso na prova): cada troca de sinal na primeira coluna = uma raiz com parte real positiva. Portanto, o número de raízes em
é exatamente o número de trocas que você contou. No papel da prova, monte as duas primeiras linhas rápido, calcule os determinantes com calma (mostre pelo menos uma conta) e conte as trocas — isso dá a resposta de forma confiável e rápida. Força aí, você já foi até aqui!
Resposta
Instável — 2 raízes em