Usando o critério de Routh determine quais dentre os polinômios abaixo são estáveis, e para os instáveis determine o número de raízes em \mathrm{C}^{+}.
s^{4}+5 s^{3}+8 s^{2}+10 s+16

Passo 1

O enunciado pede: usando o critério de Routh, determinar se o polinômio abaixo é estável e, se for instável, determinar o número de raízes em \mathrm{C}^{+} (semiplano direito).
s^{4}+5 s^{3}+8 s^{2}+10 s+16
Informações relevantes do enunciado que vamos usar: os coeficientes do polinômio são, em ordem decrescente de potência de s,
1,\;5,\;8,\;10,\;16.

Passo 2

Breve explicação do método (aula rápida e prática): o critério de Routh diz que, para um polinômio com coeficientes reais, o número de raízes com parte real positiva (no semiplano direito \mathrm{C}^{+}) é igual ao número de trocas de sinal na primeira coluna da tabela de Routh construída a partir dos coeficientes. Então, para usar o critério:
  • Montamos as duas primeiras linhas da tabela com os coeficientes alternados.
  • Cada elemento subsequente da tabela é calculado por uma fórmula do tipo “determinante dividido pelo primeiro elemento da linha anterior”. Formalmente, se temos duas linhas consecutivas cujos primeiros elementos são r_1 (linha superior) e r_2 (linha inferior), e queremos calcular o elemento que combina as colunas j e j+1, então o elemento é
\frac{r_2\cdot(\text{entrada da linha superior na coluna }j+1)-r_1\cdot(\text{entrada da linha inferior na coluna }j+1)}{r_2}.
Vou aplicar isso passo a passo no polinômio dado. Lembre-se: conte apenas as trocas de sinal na primeira coluna, de cima para baixo.

Passo 3

Escrevendo as duas primeiras linhas da tabela de Routh a partir dos coeficientes (linha do grau par e do grau ímpar):
\text{linha }s^{4}:\; 1 \quad 8 \quad 16
\text{linha }s^{3}:\; 5 \quad 10 \quad 0
Observação: coloquei um 0 onde não há coeficiente correspondente para manter a forma retangular.

Passo 4

Agora calculamos a primeira entrada da linha s^{2} usando a fórmula explicada. Tomando r_1=1 (primeira entrada de s^{4}) e r_2=5 (primeira entrada de s^{3}), e usando as colunas seguintes:
\text{primeira entrada de }s^{2} = \frac{5\cdot 8 - 1\cdot 10}{5} = \frac{40 - 10}{5} = \frac{30}{5} = 6.

Passo 5

Calculamos a segunda entrada da linha s^{2} (usando a mesma fórmula, com as colunas adequadas):
\text{segunda entrada de }s^{2} = \frac{5\cdot 16 - 1\cdot 0}{5} = \frac{80 - 0}{5} = \frac{80}{5} = 16.
Portanto a linha s^{2} fica:
\text{linha }s^{2}:\; 6 \quad 16

Passo 6

Agora montamos a linha s^{1}. A primeira entrada é (usando r_1=6 e r_2=5 — note que r_2 é a primeira entrada da linha acima, isto é, da linha s^{3}):
\text{primeira entrada de }s^{1} = \frac{6\cdot 10 - 5\cdot 16}{6} = \frac{60 - 80}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}.
A segunda entrada será zero porque envolve colunas onde já temos zeros:
\text{segunda entrada de }s^{1} = 0.
Logo:
\text{linha }s^{1}:\; -\frac{10}{3} \quad 0

Passo 7

Finalmente, calculamos a linha s^{0}. Quando chegamos na última linha escalar, a entrada é obtida pelo mesmo determinante dividido pelo primeiro elemento da linha anterior; calculando explicitamente:
\text{entrada de }s^{0} = \frac{\left(-\dfrac{10}{3}\right)\cdot 16 - 6\cdot 0}{-\dfrac{10}{3}} = \frac{-\dfrac{160}{3}}{-\dfrac{10}{3}} = 16.
Portanto:
\text{linha }s^{0}:\; 16

Passo 8

Reunindo a primeira coluna da tabela de Routh, de cima para baixo, temos:
1,\;5,\;6,\;-\tfrac{10}{3},\;16.
Agora contamos as trocas de sinal nessa sequência (cada troca de sinal corresponde a uma raiz no semiplano direito \mathrm{C}^{+}):
  • 1 \to 5: sem troca (positivo para positivo).
  • 5 \to 6: sem troca (positivo para positivo).
  • 6 \to -\tfrac{10}{3}: uma troca (positivo para negativo).
  • -\tfrac{10}{3} \to 16: uma segunda troca (negativo para positivo).
Ou seja, contabilizamos 2 trocas de sinal na primeira coluna.

Passo 9

Interpretação (como usar isso na prova): cada troca de sinal na primeira coluna = uma raiz com parte real positiva. Portanto, o número de raízes em \mathrm{C}^{+} é exatamente o número de trocas que você contou. No papel da prova, monte as duas primeiras linhas rápido, calcule os determinantes com calma (mostre pelo menos uma conta) e conte as trocas — isso dá a resposta de forma confiável e rápida. Força aí, você já foi até aqui!

Resposta

Instável — 2 raízes em \mathrm{C}^{+}

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