Para cada sistema apresentado a seguir:
  • Calcule os pólos e plote-os no Plano s;
  • Calcule a freqüência natural e o coeficiente de amortecimento.
  • Classifique-o, de acordo com sua resposta transitória ao degrau, como sobreamortecido, subamortecido, com amortecimento crítico ou não amortecido.
  • Faça um esboço de sua resposta ao degrau.
    G(s)=\frac{36}{s^{2}+4,2 s+36}

Passo 1

Enunciado e o que é pedido: temos a função de transferência
G(s)=\frac{36}{s^{2}+4,2s+36}
As tarefas pedidas (uma por uma):
  • Calcular os pólos e plotá‑los no plano s.
  • Calcular a frequência natural e o coeficiente de amortecimento.
  • Classificar a resposta transitória ao degrau (sobreamortecido, subamortecido, amortecimento crítico ou não amortecido).
  • Fazer um esboço da resposta ao degrau.
Informações dadas e importantes para a resolução:
  • Numerador constante 36.
  • Denominador quadrático s^{2}+4,2s+36.
  • Não foi pedido uso de nenhum método específico, então usaremos a comparação com a forma padrão de um sistema de segunda ordem e a fórmula para raízes de uma quadrática.

Passo 2

Relembrando a ideia principal (passo teórico necessário antes de calcular): pólos de G(s) são as raízes do denominador. Para sistemas de segunda ordem é útil comparar o denominador com a forma canônica
s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2},
onde:
  • \omega_{n} é a frequência natural não amortecida (em \mathrm{rad/s}). Ela representa a frequência do sistema se não houvesse amortecimento.
  • \zeta é o coeficiente adimensional de amortecimento. Ele determina se a resposta será oscilatória ou não:
    • \zeta>1: sobreamortecido (sem oscilações, duas raízes reais negativas diferentes);
    • \zeta=1: amortecimento crítico (duas raízes reais iguais);
    • 0<\zeta<1: subamortecido (oscilações amortecidas, raízes complexas conjugadas);
    • \zeta=0: não amortecido (oscilações permanentes, pólos puramente imaginais).
      Essa comparação permite extrair \omega_n e \zeta diretamente dos coeficientes.

Passo 3

Comparação entre o denominador dado e a forma canônica:
s^{2}+4,2s+36 \quad\longleftrightarrow\quad s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}.
Igualando coeficientes obtemos duas equações:
\omega_{n}^{2}=36,
2\zeta\omega_{n}=4,2.
A partir de \omega_{n}^{2}=36 temos
\omega_{n}=6\\ \text{(rad/s)}.
Substituindo em 2\zeta\omega_{n}=4,2 obtemos
2\zeta\cdot 6=4,2 \quad\Rightarrow\quad \zeta=\frac{4,2}{12}=0,35.
Comentário didático: \omega_{n}=6 significa que a “velocidade natural” do sistema (se não houvesse amortecimento) seria 6\\ \mathrm{rad/s}. O valor \zeta=0,35 é menor que 1, indicando comportamento oscilatório amortecido.

Passo 4

Cálculo explícito dos pólos usando a fórmula quadrática (raízes do denominador):
Resolvemos
s^{2}+4,2s+36=0.
A fórmula das raízes dá
s=\frac{-4,2\pm\sqrt{4,2^{2}-4\cdot 1\cdot 36}}{2}.
Calculemos o discriminante:
\Delta=4,2^{2}-4\cdot 36=17,64-144=-126,36.
Como \Delta<0 teremos raízes complexas conjugadas. Extraindo a raiz quadrada:
\sqrt{\Delta}=\sqrt{-126,36}=j\sqrt{126,36}=j\cdot 11,240\ldots
Logo
s=\frac{-4,2\pm j\,11,240\ldots}{2}=-2,1\pm j\,5,620\ldots
Usando a forma em termos de \zeta e \omega_{n} para verificar (é a mesma conta, só mais direta):
s=-\zeta\omega_{n}\pm j\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}=-2,1\pm j\;6\sqrt{1-0,35^{2}}.
Calculando \omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}:
\omega_{d}=6\sqrt{1-0,35^{2}}=6\sqrt{1-0,1225}=6\sqrt{0,8775}=5,620\ldots
Conferimos que os números coincidem: os pólos são
s=-2,1\pm j\,5,620\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Plotagem (descrição do local dos pólos no plano s):
  • Os pólos ficam em \Re(s)=-2,1 e \Im(s)=\pm 5,620.
  • Ou seja, dois pontos simétricos em relação ao eixo real, ambos à esquerda do eixo imaginário (parte real negativa), com coordenadas (-2,1,\pm 5,620).
  • Observação geométrica útil: a distância do pólo à origem é \sqrt{(-2,1)^{2}+5,620^{2}}=\sqrt{4,41+31,59}=\sqrt{36}=6=\omega_{n}. Assim os pólos estão sobre um círculo de raio \omega_{n}=6 centrado na origem, a um ângulo \pm\arctan\!\left(\frac{5,620}{2,1}\right)\approx\pm 69,1^\circ.

Passo 6

Classificação pela resposta transitória:
  • Como \zeta=0,35 e 0<\zeta<1, o sistema é subamortecido (ou seja, resposta oscilatória amortecida).
  • Interpretação: ao aplicar um degrau, a saída irá oscilar em torno do valor final com amplitude decrescente.

Passo 7

Características temporais importantes da resposta ao degrau unitário (muito úteis na prova):
  1. Valor final (teorema do valor final):
\lim_{t\to\infty}y(t)=\lim_{s\to 0}s\cdot\frac{G(s)}{s}=G(0)=\frac{36}{36}=1.
Ou seja, para um degrau unitário a resposta tende para 1.
  1. Overshoot percentual ( \%OS), fórmula padrão para segunda ordem:
\%OS = e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}\times 100\%.
Substituindo \zeta=0,35:
\%OS = e^{-\frac{0,35\pi}{\sqrt{1-0,35^{2}}}}\times 100\%\approx e^{-1,1746}\times 100\%\approx 30,9\%.
  1. Tempo até o primeiro pico ( t_{p}):
t_{p}=\frac{\pi}{\omega_{d}}=\frac{\pi}{\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}}=\frac{\pi}{5,620\ldots}\approx 0,56\\ \text{s}.
  1. Tempo de acomodação (settling time) para critério de 2\% (aproximação padrão):
T_{s}\approx\frac{4}{\zeta\omega_{n}}=\frac{4}{0,35\cdot 6}=\frac{4}{2,1}\approx 1,90\\ \text{s}.
  1. (Opcional, útil) tempo de subida aproximado t_{r} entre 0\% e 100\% pode ser estimado por
t_{r}\approx\frac{\pi-\operatorname{arccos}\zeta}{\omega_{d}}.
Calculando \operatorname{arccos}(0,35)\approx 1,213\\ \text{rad}, então
t_{r}\approx\frac{\pi-1,213}{5,620}\approx 0,34\\ \text{s}.

Passo 8

Expressão da resposta ao degrau (forma canônica) e interpretação didática:
Para um sistema de segunda ordem com ganho \omega_{n}^{2} e entrada degrau unitário, a resposta é
y(t)=1-\frac{e^{-\zeta\omega_{n}t}}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\sin\bigl(\omega_{d}t+\theta\bigr),
onde \theta=\operatorname{arccos}(\zeta) e \omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}.
No nosso caso, substituindo números:
y(t)=1-\frac{e^{-2,1 t}}{\sqrt{1-0,35^{2}}}\sin\bigl(5,620\,t+1,213\bigr).
Isso mostra explicitamente que a resposta é uma senoide amortecida em torno de 1 com decaimento exponencial e^{-2,1 t} (a taxa 2,1 é \zeta\omega_{n}).

Passo 9

Esboço da resposta ao degrau (descrição para desenhar à mão na prova):
  • No instante t=0, y(0)=0.
  • A resposta sobe, ultrapassa o valor final 1 chegando ao pico máximo 1+\text{MP} com \text{MP}\approx 0,309 (ou seja pico ≈ 1,309) em t_{p}\approx 0,56\\ \text{s}.
  • Em seguida oscila acima e abaixo de 1 com amplitude decrescendo exponencialmente com constante 1/2,1 (taxa 2,1).
  • Por volta de T_{s}\approx 1,90\\ \text{s} a oscilação está dentro de ±2% em torno de 1.
  • Portanto o esboço tem forma típica de senoide amortecida que converge para 1, com o primeiro pico em 1,309 e decaimento até a banda de 1\pm 0,02.

Resposta

Pólos: s=-2{,}1\pm j\,5{,}620.\nFrequência natural: \omega_{n}=6\\ \mathrm{rad/s}.\nCoeficiente de amortecimento: \zeta=0{,}35.\nClassificação: subamortecido (resposta oscilatória amortecida).\nCaracterísticas do degrau: valor final =1; overshoot \approx 30{,}9\%; tempo do primeiro pico t_{p}\approx 0{,}56\\ \text{s}; tempo de acomodação (2%) T_{s}\approx 1{,}90\\ \text{s}.

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