Para cada sistema apresentado a seguir:
- Calcule os pólos e plote-os no Plano s;
- Calcule a freqüência natural e o coeficiente de amortecimento.
- Classifique-o, de acordo com sua resposta transitória ao degrau, como sobreamortecido, subamortecido, com amortecimento crítico ou não amortecido.
- Faça um esboço de sua resposta ao degrau.
G(s)=\frac{36}{s^{2}+4,2 s+36}
G(s)=\frac{36}{s^{2}+4,2 s+36}
Passo 1
Enunciado e o que é pedido: temos a função de transferência
As tarefas pedidas (uma por uma):
- Calcular os pólos e plotá‑los no plano
. - Calcular a frequência natural e o coeficiente de amortecimento.
- Classificar a resposta transitória ao degrau (sobreamortecido, subamortecido, amortecimento crítico ou não amortecido).
- Fazer um esboço da resposta ao degrau.
Informações dadas e importantes para a resolução:
- Numerador constante
. - Denominador quadrático
. - Não foi pedido uso de nenhum método específico, então usaremos a comparação com a forma padrão de um sistema de segunda ordem e a fórmula para raízes de uma quadrática.
Passo 2
Relembrando a ideia principal (passo teórico necessário antes de calcular): pólos de
são as raízes do denominador. Para sistemas de segunda ordem é útil comparar o denominador com a forma canônica
onde:
-
é a frequência natural não amortecida (em ). Ela representa a frequência do sistema se não houvesse amortecimento. -
é o coeficiente adimensional de amortecimento. Ele determina se a resposta será oscilatória ou não: -
: sobreamortecido (sem oscilações, duas raízes reais negativas diferentes); -
: amortecimento crítico (duas raízes reais iguais); -
: subamortecido (oscilações amortecidas, raízes complexas conjugadas); -
: não amortecido (oscilações permanentes, pólos puramente imaginais).
Essa comparação permite extraire diretamente dos coeficientes.
-
Passo 3
Comparação entre o denominador dado e a forma canônica:
Igualando coeficientes obtemos duas equações:
A partir de
temos
Substituindo em
obtemos
Comentário didático:
significa que a “velocidade natural” do sistema (se não houvesse amortecimento) seria
. O valor
é menor que 1, indicando comportamento oscilatório amortecido.
Passo 4
Cálculo explícito dos pólos usando a fórmula quadrática (raízes do denominador):
Resolvemos
Resolvemos
A fórmula das raízes dá
Calculemos o discriminante:
Como
teremos raízes complexas conjugadas. Extraindo a raiz quadrada:
Logo
Usando a forma em termos de
e
para verificar (é a mesma conta, só mais direta):
Calculando
:
Conferimos que os números coincidem: os pólos são
Passo 5
Plotagem (descrição do local dos pólos no plano
):
- Os pólos ficam em
e . - Ou seja, dois pontos simétricos em relação ao eixo real, ambos à esquerda do eixo imaginário (parte real negativa), com coordenadas
. - Observação geométrica útil: a distância do pólo à origem é
. Assim os pólos estão sobre um círculo de raio centrado na origem, a um ângulo .
Passo 6
Classificação pela resposta transitória:
- Como
e , o sistema é subamortecido (ou seja, resposta oscilatória amortecida). - Interpretação: ao aplicar um degrau, a saída irá oscilar em torno do valor final com amplitude decrescente.
Passo 7
Características temporais importantes da resposta ao degrau unitário (muito úteis na prova):
- Valor final (teorema do valor final):
Ou seja, para um degrau unitário a resposta tende para
.
- Overshoot percentual (
), fórmula padrão para segunda ordem:
Substituindo
:
- Tempo até o primeiro pico (
):
- Tempo de acomodação (settling time) para critério de
(aproximação padrão):
- (Opcional, útil) tempo de subida aproximado
entre e pode ser estimado por
Calculando
, então
Passo 8
Expressão da resposta ao degrau (forma canônica) e interpretação didática:
Para um sistema de segunda ordem com ganho e entrada degrau unitário, a resposta é
Para um sistema de segunda ordem com ganho
onde
e
.
No nosso caso, substituindo números:
No nosso caso, substituindo números:
Isso mostra explicitamente que a resposta é uma senoide amortecida em torno de
com decaimento exponencial
(a taxa
é
).
Passo 9
Esboço da resposta ao degrau (descrição para desenhar à mão na prova):
- No instante
, . - A resposta sobe, ultrapassa o valor final
chegando ao pico máximo com (ou seja pico ≈ ) em . - Em seguida oscila acima e abaixo de
com amplitude decrescendo exponencialmente com constante (taxa ). - Por volta de
a oscilação está dentro de ±2% em torno de . - Portanto o esboço tem forma típica de senoide amortecida que converge para
, com o primeiro pico em e decaimento até a banda de .
Resposta
Pólos:
.\nFrequência natural:
.\nCoeficiente de amortecimento:
.\nClassificação: subamortecido (resposta oscilatória amortecida).\nCaracterísticas do degrau: valor final
; overshoot
; tempo do primeiro pico
; tempo de acomodação (2%)
.