Para cada sistema apresentado a seguir:
  • Calcule os pólos e plote-os no Plano s;
  • Calcule a freqüência natural e o coeficiente de amortecimento.
  • Classifique-o, de acordo com sua resposta transitória ao degrau, como sobreamortecido, subamortecido, com amortecimento crítico ou não amortecido.
  • Faça um esboço de sua resposta ao degrau.
    G(s)=\frac{20}{s^{2}+8 s+20}

Passo 1

Enunciado dado: a função de transferência é
G(s)=\frac{20}{s^{2}+8s+20}.
O que nos pedem (lista clara):
  • Calcular os pólos e plotá‑los no plano s.
  • Calcular a frequência natural e o coeficiente de amortecimento.
  • Classificar a resposta transitória ao degrau (subamortecido, sobreamortecido, amortecimento crítico ou não amortecido).
  • Fazer um esboço (descrever) da resposta ao degrau.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O denominador é \,s^{2}+8s+20\,, que define os pólos.
  • Não há zeros (numerador é constante 20).
  • O ganho em regime permanente para degrau unitário será G(0)=20/20=1 (isso indica que a resposta ao degrau tende a 1).

Passo 2

Encontrar os pólos: resolver \;s^{2}+8s+20=0\; usando a fórmula quadrática.
A discriminante é
\Delta = 8^{2}-4\cdot1\cdot20 = 64-80 = -16.
Portanto as raízes são complexas:
s=\frac{-8\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{-8\pm 4j}{2}=-4\pm 2j.
Logo os pólos são \;s_{1,2}=-4\pm 2j.

Passo 3

Plotagem dos pólos no plano s (descrição para esboço):
  • Pólo s_{1}=-4+2j: coordenada (-4,\,2).
  • Pólo s_{2}=-4-2j: coordenada (-4,\,-2).
    Ambos estão no semiplano esquerdo (parte real negativa), simetricamente em relação ao eixo real. O módulo de cada pólo é
|s|=\sqrt{(-4)^{2}+2^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}.
Este módulo coincide com a frequência natural (ver passo seguinte).

Passo 4

Calcular frequência natural \omega_{n} e coeficiente de amortecimento \zeta por comparação com a forma padrão
s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}.
Comparando coeficientes com s^{2}+8s+20:
\omega_{n}^{2}=20 \quad\Rightarrow\quad \omega_{n}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4{,}4721,
2\zeta\omega_{n}=8 \quad\Rightarrow\quad \zeta=\frac{8}{2\omega_{n}}=\frac{4}{\omega_{n}}=\frac{4}{\sqrt{20}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\approx 0{,}894427.
Verificação consistente com os pólos: parte real -\zeta\omega_{n}=-4 e parte imaginária \omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}=2.

Passo 5

Calcular a frequência amortecida \omega_{d} (frequência de oscilação do termo senoidal):
\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}=\sqrt{20}\sqrt{1-\frac{4}{5}}=\sqrt{20}\sqrt{\frac{1}{5}}=\sqrt{4}=2.

Passo 6

Classificação pela resposta ao degrau:
  • Critério: se 0<\zeta<1 => subamortecido (oscila com decaimento exponencial); \zeta=1 => amortecimento crítico; \zeta>1 => sobreamortecido; \zeta=0 => não amortecido (oscilador puro).
  • Aqui \zeta\approx 0{,}8944, ou seja 0<\zeta<1. Portanto o sistema é subamortecido (resposta oscilatória amortecida). Observação: \zeta é relativamente grande (próximo de 0{,}9), então as oscilações são pequenas e rapidamente amortecidas.

Passo 7

Obter a resposta ao degrau unitário y(t) (aqui ensino passo a passo da inversa de Laplace):
Queremos Y(s)=G(s)\cdot\frac{1}{s}=\dfrac{20}{s(s^{2}+8s+20)}.
Fazemos frações parciais: suponha
\frac{20}{s(s^{2}+8s+20)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+8s+20}.
Multiplicando por s(s^{2}+8s+20):
20 = A(s^{2}+8s+20) + (Bs+C)s.
Substituindo s=0 obtemos 20=20A\Rightarrow A=1.
Comparando coeficientes (ou expandindo) obtemos B=-1 e C=-8. Logo
Y(s)=\frac{1}{s}+\frac{-s-8}{s^{2}+8s+20}.
Complete o quadrado no denominador: s^{2}+8s+20=(s+4)^{2}+2^{2}.
Reescrevendo o numerador do segundo termo:
-s-8 = -(s+4)-4.
Então
\frac{-s-8}{(s+4)^{2}+2^{2} } = -\frac{s+4}{(s+4)^{2}+2^{2}} - \frac{4}{(s+4)^{2}+2^{2}}.
Aplicando transformadas inversas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+4}{(s+4)^{2}+2^{2}}\right\}=e^{-4t}\cos(2t),
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{(s+4)^{2}+2^{2}}\right\}=e^{-4t}\sin(2t).
Assim, juntando termos,
y(t)=1 - e^{-4t}\cos(2t) - 2e^{-4t}\sin(2t).
Podemos combinar os termos sen/cos numa forma padrão:
y(t)=1 - e^{-4t}\big(\cos(2t)+2\sin(2t)\big) =1 - \frac{e^{-4t}}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\sin\big(2t+\varphi\big),
com \sqrt{1-\zeta^{2}}=0{,}4472136 e \varphi=\operatorname{arccos}(\zeta)\approx 0{,}4636476 rad.

Passo 8

Características temporais úteis (cálculos e interpretação, para você usar na prova):
  • Ganho em regime permanente: \displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)=1 (pois G(0)=1).
  • Tempo de pico t_{p}=\dfrac{\pi}{\omega_{d}}=\dfrac{\pi}{2}\approx 1{,}571\\ \text{s}.
  • Percentual de ultrapassagem (overshoot) PO = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^{2}}}\times 100\%.
    Calculemos numericamente:
\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}=\pi\cdot\frac{0{,}894427}{0{,}4472136}=\pi\cdot 2 =2\pi,
logo
PO=e^{-2\pi}\times 100\%\approx 0{,}1867\%.
Ou seja, praticamente sem overshoot perceptível.
  • Aproximação de tempo de acomodação (2%): T_{s}\approx \dfrac{4}{\zeta\omega_{n}}=\dfrac{4}{4}=1\\ \text{s} (aqui \zeta\omega_{n}=4 exatamente). Isso indica que a resposta entra na banda de 2% por volta de 1\\ \text{s}.

Passo 9

Esboço descritivo da resposta ao degrau (como desenhar/esperar na prova):
  • Começa em y(0)=0.
  • Sobe rapidamente em direção a 1.
  • Há uma pequena oscilação amortecida, com pico muito próximo a 1{,}00187 (ou seja overshoot ~0{,}187%), ocorrendo em t\approx 1{,}571 s.
  • Em aproximadamente T_{s}\approx 1 s já está dentro de \pm 2\% do valor final e depois converge exponencialmente para 1 com envelope e^{-4t}.
  • No plano s os polos ficam em (-4,\pm 2) — desenhe dois cruzes nesses pontos no semiplano esquerdo.

Resposta

Pólos: \;s_{1,2}=-4\pm 2j (plotar em (-4,\,\pm2) no plano s).
Frequência natural: \;\omega_{n}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4{,}4721.
Coeficiente de amortecimento: \;\zeta=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\approx 0{,}894427.
Classificação: subamortecido (oscilações amortecidas, 0<\zeta<1).
Resposta ao degrau (tempo): \displaystyle y(t)=1-e^{-4t}\big(\cos(2t)+2\sin(2t)\big).
Principais parâmetros: \omega_{d}=2, t_{p}=\dfrac{\pi}{2}\approx 1{,}571 s, PO\approx 0{,}187\%, T_{s}\approx 1 s.

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