Para cada sistema apresentado a seguir:
- Calcule os pólos e plote-os no Plano s;
- Calcule a freqüência natural e o coeficiente de amortecimento.
- Classifique-o, de acordo com sua resposta transitória ao degrau, como sobreamortecido, subamortecido, com amortecimento crítico ou não amortecido.
- Faça um esboço de sua resposta ao degrau.
G(s)=\frac{20}{s^{2}+8 s+20}
G(s)=\frac{20}{s^{2}+8 s+20}
Passo 1
Enunciado dado: a função de transferência é
O que nos pedem (lista clara):
- Calcular os pólos e plotá‑los no plano
. - Calcular a frequência natural e o coeficiente de amortecimento.
- Classificar a resposta transitória ao degrau (subamortecido, sobreamortecido, amortecimento crítico ou não amortecido).
- Fazer um esboço (descrever) da resposta ao degrau.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O denominador é
, que define os pólos. - Não há zeros (numerador é constante
). - O ganho em regime permanente para degrau unitário será
(isso indica que a resposta ao degrau tende a 1).
Passo 2
Encontrar os pólos: resolver
usando a fórmula quadrática.
A discriminante é
A discriminante é
Portanto as raízes são complexas:
Logo os pólos são
.
Passo 3
Plotagem dos pólos no plano
(descrição para esboço):
- Pólo
: coordenada . - Pólo
: coordenada .
Ambos estão no semiplano esquerdo (parte real negativa), simetricamente em relação ao eixo real. O módulo de cada pólo é
Este módulo coincide com a frequência natural (ver passo seguinte).
Passo 4
Calcular frequência natural
e coeficiente de amortecimento
por comparação com a forma padrão
Comparando coeficientes com
:
Verificação consistente com os pólos: parte real
e parte imaginária
.
Passo 5
Calcular a frequência amortecida
(frequência de oscilação do termo senoidal):
Passo 6
Classificação pela resposta ao degrau:
- Critério: se
=> subamortecido (oscila com decaimento exponencial); => amortecimento crítico; => sobreamortecido; => não amortecido (oscilador puro). - Aqui
, ou seja . Portanto o sistema é subamortecido (resposta oscilatória amortecida). Observação: é relativamente grande (próximo de 0{,}9), então as oscilações são pequenas e rapidamente amortecidas.
Passo 7
Obter a resposta ao degrau unitário
(aqui ensino passo a passo da inversa de Laplace):
Queremos .
Fazemos frações parciais: suponha
Queremos
Fazemos frações parciais: suponha
Multiplicando por
:
Substituindo
obtemos
.
Comparando coeficientes (ou expandindo) obtemos e
. Logo
Comparando coeficientes (ou expandindo) obtemos
Complete o quadrado no denominador:
.
Reescrevendo o numerador do segundo termo:
Reescrevendo o numerador do segundo termo:
Então
Aplicando transformadas inversas conhecidas:
Assim, juntando termos,
Podemos combinar os termos sen/cos numa forma padrão:
com
e
rad.
Passo 8
Características temporais úteis (cálculos e interpretação, para você usar na prova):
- Ganho em regime permanente:
(pois ). - Tempo de pico
. - Percentual de ultrapassagem (overshoot)
.
Calculemos numericamente:
logo
Ou seja, praticamente sem overshoot perceptível.
- Aproximação de tempo de acomodação (2%):
(aqui exatamente). Isso indica que a resposta entra na banda de 2% por volta de .
Passo 9
Esboço descritivo da resposta ao degrau (como desenhar/esperar na prova):
- Começa em
. - Sobe rapidamente em direção a
. - Há uma pequena oscilação amortecida, com pico muito próximo a
(ou seja overshoot ~0{,}187%), ocorrendo em s. - Em aproximadamente
s já está dentro de do valor final e depois converge exponencialmente para com envelope . - No plano
os polos ficam em — desenhe dois cruzes nesses pontos no semiplano esquerdo.
Resposta
Pólos:
(plotar em
no plano
).
Frequência natural: .
Coeficiente de amortecimento: .
Classificação: subamortecido (oscilações amortecidas, ).
Resposta ao degrau (tempo): .
Principais parâmetros: ,
s,
,
s.
Frequência natural:
Coeficiente de amortecimento:
Classificação: subamortecido (oscilações amortecidas,
Resposta ao degrau (tempo):
Principais parâmetros: