Usando o critério de Routh determine quais dentre os polinômios abaixo são estáveis, e para os instáveis determine o número de raízes em
.
s^{6}+3 s^{5}+5 s^{4}+10 s^{3}+8 s^{2}+15 s+20
s^{6}+3 s^{5}+5 s^{4}+10 s^{3}+8 s^{2}+15 s+20
Passo 1
O enunciado pede: determinar, pelo critério de Routh, se o polinômio é estável; se for instável, dizer quantas raízes têm parte real positiva (ou seja, quantas raízes estão em
).\n
Dados do polinômio (listei os coeficientes de grau decrescente):
Dados do polinômio (listei os coeficientes de grau decrescente):
coeficientes:
Passo 2
O que é o critério de Routh (explicação didática e fórmula usada):\n
- Esse critério constrói uma tabela (tabela de Routh) em que cada linha corresponde a um valor de
(degraus decrescentes) e a primeira coluna contém números cujo sinal nos diz quantas raízes do polinômio têm parte real positiva. Cada troca de sinal na primeira coluna indica uma raiz em .\n - A primeira e a segunda linhas da tabela são formadas diretamente pelos coeficientes do polinômio: a primeira linha (grau par mais alto) com os coeficientes dos termos de grau par e a segunda (grau ímpar) com os coeficientes dos termos de grau ímpar.\n
- Para calcular uma entrada genérica da tabela usamos a fórmula (aqui explico o que cada símbolo significa): suponha que a linha acima (chamemos de linha A) tenha primeiro elemento
e segundo elemento , e a linha acima dela (chamemos de linha B) tenha primeiro elemento e segundo elemento . Então a primeira entrada da linha abaixo (linha C) é
Isso é: multiplica-se o primeiro elemento da linha A pelo segundo elemento da linha B, subtrai-se o primeiro elemento da linha B vezes o segundo elemento da linha A, e divide-se pelo primeiro elemento da linha A. Repetimos esse processo para as colunas seguintes (considerando elementos inexistentes como zero). Não se assuste — vou mostrar passo a passo com os números do polinômio.
Passo 3
Montagem das duas primeiras linhas da tabela de Routh (usei os coeficientes do polinômio):\n
primeira linha (grau , coeficientes dos termos de grau par):
primeira linha (grau
segunda linha (grau
, coeficientes dos termos de grau ímpar):
(na segunda linha acrescentei um zero no final para que as colunas fiquem alinhadas).
Passo 4
Cálculo da linha
usando a fórmula explicada (mostro cada entrada):\n
primeira entrada da linha :
primeira entrada da linha
segunda entrada da linha
:
terceira entrada da linha
(usando o zero colado):
Logo:
Passo 5
Cálculo da linha
(usando agora as linhas
e
):\n
primeira entrada da linha :
primeira entrada da linha
segunda entrada da linha
:
Terceira entrada é zero (não há mais termos relevantes). Então
Passo 6
Cálculo da linha
(usando linhas
e
):\n
primeira entrada da linha :
primeira entrada da linha
segunda entrada da linha
:
Portanto
Passo 7
Cálculo da linha
(usando linhas
e
):\n
primeira entrada da linha :
primeira entrada da linha
Faço as contas em forma de frações para ficar exato:
Assim o numerador é
Dividindo pelo
temos
A segunda entrada da linha
será zero (não há mais colunas úteis). Então
Passo 8
Linha
: a última linha é simplesmente o termo independente do polinômio (ou obtida pela fórmula com a linha
, mas aqui é o coeficiente constante). Portanto
Passo 9
Agora leio a primeira coluna da tabela de cima para baixo (coloquei também aproximações para intuir o sinal):
Conto as trocas de sinal na primeira coluna: temos uma troca de
para
(entre as linhas
e
) e outra troca de
para
(entre
e
). Total de trocas de sinal:
.\n
Pelo critério de Routh, o número de raízes com parte real positiva (raízes em ) é exatamente o número de trocas de sinal na primeira coluna. Não houve casos especiais (como linha inteira zero ou primeiro elemento zero) que exigissem tratamento adicional.]
Pelo critério de Routh, o número de raízes com parte real positiva (raízes em
Passo 10
Conclusão final e interpretação (motivação para prova):\n
- Como existem
trocas de sinal na primeira coluna, o polinômio tem exatamente raízes com parte real positiva. Portanto o polinômio não é estável (estável significaria nenhuma raiz em ).\n
Dica rápida para a prova: monte carefulmente as duas primeiras linhas a partir dos coeficientes, aplique sempre a fórmula
para cada entrada (onde
é o primeiro elemento da linha imediatamente acima), e conte as trocas de sinal na primeira coluna. Se aparecerem zeros especiais, existe um procedimento padrão (pegar derivada, ou pequeno
); aqui não foi necessário.
Resposta
Instável;
raízes em
.