Usando o critério de Routh determine quais dentre os polinômios abaixo são estáveis, e para os instáveis determine o número de raízes em \mathrm{C}^{+}.
s^{6}+3 s^{5}+5 s^{4}+10 s^{3}+8 s^{2}+15 s+20

Passo 1

O enunciado pede: determinar, pelo critério de Routh, se o polinômio é estável; se for instável, dizer quantas raízes têm parte real positiva (ou seja, quantas raízes estão em \mathbb{C}^{+}).\n
Dados do polinômio (listei os coeficientes de grau decrescente):
s^{6} + 3 s^{5} + 5 s^{4} + 10 s^{3} + 8 s^{2} + 15 s + 20
coeficientes:
\begin{array}{l} \text{grau }6:\;1,\\\ \text{grau }5:\;3,\\\ \text{grau }4:\;5,\\\ \text{grau }3:\;10,\\\ \text{grau }2:\;8,\\\ \text{grau }1:\;15,\\\ \text{grau }0:\;20. \end{array}

Passo 2

O que é o critério de Routh (explicação didática e fórmula usada):\n
  • Esse critério constrói uma tabela (tabela de Routh) em que cada linha corresponde a um valor de s (degraus decrescentes) e a primeira coluna contém números cujo sinal nos diz quantas raízes do polinômio têm parte real positiva. Cada troca de sinal na primeira coluna indica uma raiz em \mathbb{C}^{+}.\n
  • A primeira e a segunda linhas da tabela são formadas diretamente pelos coeficientes do polinômio: a primeira linha (grau par mais alto) com os coeficientes dos termos de grau par e a segunda (grau ímpar) com os coeficientes dos termos de grau ímpar.\n
  • Para calcular uma entrada genérica da tabela usamos a fórmula (aqui explico o que cada símbolo significa): suponha que a linha acima (chamemos de linha A) tenha primeiro elemento a_1 e segundo elemento a_2, e a linha acima dela (chamemos de linha B) tenha primeiro elemento b_1 e segundo elemento b_2. Então a primeira entrada da linha abaixo (linha C) é
\frac{a_1 b_2 - b_1 a_2}{a_1}.
Isso é: multiplica-se o primeiro elemento da linha A pelo segundo elemento da linha B, subtrai-se o primeiro elemento da linha B vezes o segundo elemento da linha A, e divide-se pelo primeiro elemento da linha A. Repetimos esse processo para as colunas seguintes (considerando elementos inexistentes como zero). Não se assuste — vou mostrar passo a passo com os números do polinômio.

Passo 3

Montagem das duas primeiras linhas da tabela de Routh (usei os coeficientes do polinômio):\n
primeira linha (grau 6, coeficientes dos termos de grau par):
\text{linha }s^{6}:\quad 1,\;5,\;8,\;20
segunda linha (grau 5, coeficientes dos termos de grau ímpar):
\text{linha }s^{5}:\quad 3,\;10,\;15,\;0
(na segunda linha acrescentei um zero no final para que as colunas fiquem alinhadas).

Passo 4

Cálculo da linha s^{4} usando a fórmula explicada (mostro cada entrada):\n
primeira entrada da linha s^{4}:
\frac{3\cdot 5 - 1\cdot 10}{3} = \frac{15-10}{3} = \frac{5}{3}.
segunda entrada da linha s^{4}:
\frac{3\cdot 8 - 1\cdot 15}{3} = \frac{24-15}{3} = \frac{9}{3} = 3.
terceira entrada da linha s^{4} (usando o zero colado):
\frac{3\cdot 20 - 1\cdot 0}{3} = \frac{60}{3} = 20.
Logo:
\text{linha }s^{4}:\quad \frac{5}{3},\;3,\;20.

Passo 5

Cálculo da linha s^{3} (usando agora as linhas s^{4} e s^{5}):\n
primeira entrada da linha s^{3}:
\frac{\left(\tfrac{5}{3}\right)\cdot 10 - 3\cdot 3}{\tfrac{5}{3}} = \frac{\tfrac{50}{3} - 9}{\tfrac{5}{3}} = \frac{\tfrac{50-27}{3}}{\tfrac{5}{3}} = \frac{\tfrac{23}{3}}{\tfrac{5}{3}} = \frac{23}{5}.
segunda entrada da linha s^{3}:
\frac{\left(\tfrac{5}{3}\right)\cdot 15 - 3\cdot 20}{\tfrac{5}{3}} = \frac{25 - 60}{\tfrac{5}{3}} = \frac{-35}{\tfrac{5}{3}} = -21.
Terceira entrada é zero (não há mais termos relevantes). Então
\text{linha }s^{3}:\quad \frac{23}{5},\;-21,\;0.

Passo 6

Cálculo da linha s^{2} (usando linhas s^{3} e s^{4}):\n
primeira entrada da linha s^{2}:
\frac{\left(\tfrac{23}{5}\right)\cdot 3 - \left(\tfrac{5}{3}\right)\cdot(-21)}{\tfrac{23}{5}} = \frac{\tfrac{69}{5} + 35}{\tfrac{23}{5}} = \frac{\tfrac{69}{5} + \tfrac{175}{5}}{\tfrac{23}{5}} = \frac{\tfrac{244}{5}}{\tfrac{23}{5}} = \frac{244}{23}.
segunda entrada da linha s^{2}:
\frac{\left(\tfrac{23}{5}\right)\cdot 20 - \left(\tfrac{5}{3}\right)\cdot 0}{\tfrac{23}{5}} = \frac{\tfrac{460}{5}}{\tfrac{23}{5}} = \frac{92}{\tfrac{23}{5}} =20.
Portanto
\text{linha }s^{2}:\quad \frac{244}{23},\;20.

Passo 7

Cálculo da linha s^{1} (usando linhas s^{2} e s^{3}):\n
primeira entrada da linha s^{1}:
\frac{\left(\tfrac{244}{23}\right)\cdot(-21) - \left(\tfrac{23}{5}\right)\cdot 20}{\tfrac{244}{23}}.
Faço as contas em forma de frações para ficar exato:
\left(\tfrac{244}{23}\right)(-21) = -\tfrac{244\cdot 21}{23} = -\tfrac{5124}{23},
\left(\tfrac{23}{5}\right)\cdot 20 = \tfrac{460}{5} = 92.
Assim o numerador é
-\tfrac{5124}{23} - 92 = -\tfrac{5124 + 2116}{23} = -\tfrac{7240}{23}.
Dividindo pelo \tfrac{244}{23} temos
-\tfrac{7240}{23}\cdot \tfrac{23}{244} = -\tfrac{7240}{244} = -\tfrac{1810}{61}.
A segunda entrada da linha s^{1} será zero (não há mais colunas úteis). Então
\text{linha }s^{1}:\quad -\tfrac{1810}{61},\;0.

Passo 8

Linha s^{0}: a última linha é simplesmente o termo independente do polinômio (ou obtida pela fórmula com a linha s^{1}, mas aqui é o coeficiente constante). Portanto
\text{linha }s^{0}:\quad 20.

Passo 9

Agora leio a primeira coluna da tabela de cima para baixo (coloquei também aproximações para intuir o sinal):
\begin{array}{ll} s^{6}: & 1\quad(\text{positivo})\\[2pt] s^{5}: & 3\quad(\text{positivo})\\[2pt] s^{4}: & \tfrac{5}{3}\approx 1{,}666\quad(\text{positivo})\\[2pt] s^{3}: & \tfrac{23}{5}=4{,}6\quad(\text{positivo})\\[2pt] s^{2}: & \tfrac{244}{23}\approx 10{,}6087\quad(\text{positivo})\\[2pt] s^{1}: & -\tfrac{1810}{61}\approx -29{,}6721\quad(\text{negativo})\\[2pt] s^{0}: & 20\quad(\text{positivo}) \end{array}
Conto as trocas de sinal na primeira coluna: temos uma troca de + para - (entre as linhas s^{2} e s^{1}) e outra troca de - para + (entre s^{1} e s^{0}). Total de trocas de sinal: 2.\n
Pelo critério de Routh, o número de raízes com parte real positiva (raízes em \mathbb{C}^{+}) é exatamente o número de trocas de sinal na primeira coluna. Não houve casos especiais (como linha inteira zero ou primeiro elemento zero) que exigissem tratamento adicional.]

Passo 10

Conclusão final e interpretação (motivação para prova):\n
  • Como existem 2 trocas de sinal na primeira coluna, o polinômio tem exatamente 2 raízes com parte real positiva. Portanto o polinômio não é estável (estável significaria nenhuma raiz em \mathbb{C}^{+}).\n
    Dica rápida para a prova: monte carefulmente as duas primeiras linhas a partir dos coeficientes, aplique sempre a fórmula
\frac{a_1 b_2 - b_1 a_2}{a_1}
para cada entrada (onde a_1 é o primeiro elemento da linha imediatamente acima), e conte as trocas de sinal na primeira coluna. Se aparecerem zeros especiais, existe um procedimento padrão (pegar derivada, ou pequeno \varepsilon); aqui não foi necessário.

Resposta

Instável; 2 raízes em \mathbb{C}^{+}.

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