Usando a definição, demonstre os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 2}\left(6 x^{2}-13 x+5\right)=3

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se demonstrar, usando a definição precisa de limite, que \lim_{x\to 2}\left(6x^{2}-13x+5\right)=3.
  • A informação dada é a função f(x)=6x^{2}-13x+5, o ponto de limite x\to 2 e o valor limite alegado 3.
  • Objetivo concreto (na linguagem da definição): provar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x-2|<\delta, então |6x^{2}-13x+5-3|<\varepsilon.

Passo 2

Lembrando a definição (explicada de forma simples).
  • A definição formal do limite diz: dados f, a e L, temos \lim_{x\to a}f(x)=L se, e somente se, para todo \varepsilon>0 existir \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, então |f(x)-L|<\varepsilon.
  • Aqui a=2, L=3 e f(x)=6x^{2}-13x+5. Vou seguir exatamente essa ideia: começar com um \varepsilon>0 arbitrário e construir um \delta em função de \varepsilon.

Passo 3

Manipular a diferença f(x)-3 para achar uma forma que permita controlar |f(x)-3| por |x-2|.
Calcule:
6x^{2}-13x+5-3=6x^{2}-13x+2.
Fatorando o polinômio (mostro a verificação):
(6x-1)(x-2)=6x^{2}-12x-x+2=6x^{2}-13x+2.
Logo
6x^{2}-13x+5-3=(6x-1)(x-2).
Tomando módulo:
|6x^{2}-13x+5-3|=|6x-1|\;|x-2|.

Passo 4

Precisamos controlar |6x-1| quando x está perto de 2. A ideia padrão é restringir primeiro x a um intervalo pequeno em torno de 2 (por exemplo raio 1), para obter uma cota numérica para |6x-1|.
Se escolhermos \delta\le 1, então 0<|x-2|<\delta implica |x-2|<1, isto é x\in(1,3). Para x\in(1,3) temos
|6x-1|\le \max\{|6\cdot 1-1|,\;|6\cdot 3-1|\}=\max\{5,\;17\}=17.
Portanto, sempre que |x-2|<1 vale
|6x-1|\le 17.

Passo 5

Usando a desigualdade anterior:
|6x^{2}-13x+5-3|=|6x-1|\;|x-2|\le 17\,|x-2|
sempre que |x-2|<1. Para garantir |6x^{2}-13x+5-3|<\varepsilon é suficiente assegurar
17\,|x-2|<\varepsilon,
ou seja
|x-2|<\frac{\varepsilon}{17}.

Passo 6

Escolha de \delta que funciona para qualquer \varepsilon>0. Defina
\delta=\min\left\{1,\;\frac{\varepsilon}{17}\right\}.
Então, para esse \delta, se 0<|x-2|<\delta temos simultaneamente |x-2|<1 (logo |6x-1|\le 17) e |x-2|<\varepsilon/17. Assim
|6x^{2}-13x+5-3|\le 17\,|x-2|<17\cdot\frac{\varepsilon}{17}=\varepsilon.
Isto mostra exatamente a condição exigida pela definição de limite: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (o \delta que definimos) tal que 0<|x-2|<\delta implica |6x^{2}-13x+5-3|<\varepsilon.

Passo 7

Conclusão final conforme a definição: portanto
\lim_{x\to 2}\left(6x^{2}-13x+5\right)=3.

Resposta

3

Exercícios relacionados