Usando a definição, demonstre os seguintes limites:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se demonstrar, usando a definição precisa de limite, que
- A informação dada é a função
, o ponto de limite e o valor limite alegado . - Objetivo concreto (na linguagem da definição): provar que para todo
existe tal que, se , então .
Passo 2
Lembrando a definição (explicada de forma simples).
- A definição formal do limite diz: dados
, e , temos se, e somente se, para todo existir tal que, sempre que , então . - Aqui
, e . Vou seguir exatamente essa ideia: começar com um arbitrário e construir um em função de .
Passo 3
Manipular a diferença
para achar uma forma que permita controlar
por
.
Calcule:
Calcule:
Fatorando o polinômio (mostro a verificação):
Logo
Tomando módulo:
Passo 4
Precisamos controlar
quando
está perto de
. A ideia padrão é restringir primeiro
a um intervalo pequeno em torno de
(por exemplo raio
), para obter uma cota numérica para
.
Se escolhermos , então
implica
, isto é
. Para
temos
Se escolhermos
Portanto, sempre que
vale
Passo 5
Usando a desigualdade anterior:
sempre que
. Para garantir
é suficiente assegurar
ou seja
Passo 6
Escolha de
que funciona para qualquer
. Defina
Então, para esse
, se
temos simultaneamente
(logo
) e
. Assim
Isto mostra exatamente a condição exigida pela definição de limite: para todo
existe
(o
que definimos) tal que
implica
.
Passo 7
Conclusão final conforme a definição: portanto
Resposta
3