Usando a definição, demonstre os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-1}(3-4 x)=7

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, usando a definição de limite, que
\lim_{x\to-1}(3-4x)=7.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=3-4x.
  • O ponto onde x tende é a=-1.
  • A afirmação a provar é que o limite é L=7.

Passo 2

Lembrete da definição (formal) de limite que vamos usar. Dizemos que \lim_{x\to a} f(x)=L quando:
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \text{existe }\delta>0\\ \text{tal que, se }0<|x-a|<\delta,\\ \text{então }|f(x)-L|<\varepsilon.ã
Aqui \varepsilon (epsilon) representa a precisão desejada no valor da função, e \delta (delta) é a tolerância que impomos na variável x para garantir essa precisão.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso f(x)=3-4x, a=-1 e L=7. Começamos calculando a diferença que devemos controlar:
|f(x)-L| = |(3-4x)-7|.
Agora simplificamos passo a passo:
(3-4x)-7 = 3-4x-7 = -4x-4 = -4(x+1).
Portanto
|(3-4x)-7| = |-4(x+1)| = 4|x+1|.
Essa expressão mostra que a distância entre f(x) e 7 é exatamente 4 vezes a distância entre x e -1.

Passo 4

A estratégia padrão quando aparece uma constante multiplicando |x-a| é escolher \delta proporcional a \varepsilon. Aqui, como |f(x)-7|=4|x+1|, basta fazer 4|x+1|<\varepsilon, ou seja escolher \delta tal que, sempre que 0<|x+1|<\delta, tenhamos 4|x+1|<\varepsilon.
Escolha
\delta=\frac{\varepsilon}{4}.
Note que \delta>0 sempre que \varepsilon>0, então essa escolha é válida.

Passo 5

Verificação final: suponha dado um \varepsilon>0 e tome \delta=\dfrac{\varepsilon}{4}. Se 0<|x+1|<\delta então
|f(x)-7| = 4|x+1| < 4\delta = 4\cdot\frac{\varepsilon}{4} = \varepsilon.
Isso mostra exatamente que, para todo \varepsilon>0, existe um \delta>0 (especificamente \delta=\varepsilon/4) que garante |f(x)-7|<\varepsilon sempre que 0<|x+1|<\delta. Logo, pela definição, o limite é 7.

Resposta

7

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