Usando a definição, demonstre os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, usando a definição de limite, que
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde
tende é . - A afirmação a provar é que o limite é
.
Passo 2
Lembrete da definição (formal) de limite que vamos usar. Dizemos que
quando:
Aqui
(epsilon) representa a precisão desejada no valor da função, e
(delta) é a tolerância que impomos na variável
para garantir essa precisão.
Passo 3
Aplicando a definição ao caso
,
e
. Começamos calculando a diferença que devemos controlar:
Agora simplificamos passo a passo:
Portanto
Essa expressão mostra que a distância entre
e
é exatamente
vezes a distância entre
e
.
Passo 4
A estratégia padrão quando aparece uma constante multiplicando
é escolher
proporcional a
. Aqui, como
, basta fazer
, ou seja escolher
tal que, sempre que
, tenhamos
.
Escolha
Note que
sempre que
, então essa escolha é válida.
Passo 5
Verificação final: suponha dado um
e tome
. Se
então
Isso mostra exatamente que, para todo
, existe um
(especificamente
) que garante
sempre que
. Logo, pela definição, o limite é
.