Usando a definição, demonstre os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 4}(5-2 x)=-3

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, usando a definição (epsilon-delta), que
\lim_{x\to 4}(5-2x)=-3.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=5-2x.
  • O ponto onde x tende é x_0=4.
  • O valor limite a ser comprovado é L=-3.
    Objetivo: provar que para todo \epsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-4|<\delta, vale |f(x)-(-3)|<\epsilon.

Passo 2

Vou lembrar a definição formal de limite que vamos usar (e explicá-la de leve):
\text{Para todo }\epsilon>0\\ \text{existe }\delta>0\\ \text{tal que, se }0<|x-4|<\delta,\\ \text{então }|f(x)-(-3)|<\epsilon.ã
O que isto quer dizer em palavras simples: dado qualquer nível de precisão \epsilon que você queira para o valor de f(x) em relação a -3, devemos encontrar um intervalo em torno de 4 (de raio \delta) tal que, sempre que x estiver nesse intervalo (exceto possivelmente no próprio x=4), f(x) estará a menos de \epsilon de -3.

Passo 3

Calculo a diferença entre f(x) e o candidato a limite -3 para ver como ela depende de |x-4|:
|f(x)-(-3)| = |(5-2x)-(-3)| = |5-2x+3| = |8-2x|.
Fatorando:
|8-2x| = 2|4-x| = 2|x-4|.
Esta é a observação central: a distância entre f(x) e -3 é exatamente 2 vezes a distância entre x e 4.

Passo 4

A partir de |f(x)-(-3)| = 2|x-4|, para garantir |f(x)-(-3)|<\epsilon basta garantir 2|x-4|<\epsilon, ou seja
|x-4|<\frac{\epsilon}{2}.
Portanto uma escolha natural e suficiente é tomar
\delta = \frac{\epsilon}{2}.
(Dá para escolher qualquer \delta menor ou igual a \epsilon/2; no caso linear aqui não precisamos de restrição adicional.)

Passo 5

Agora verifico a condição da definição com essa escolha de \delta.
Sejam \epsilon>0 dado e \delta=\epsilon/2. Se 0<|x-4|<\delta, então
|f(x)-(-3)| = 2|x-4| < 2\delta = 2\cdot\frac{\epsilon}{2} = \epsilon.
Logo a condição da definição é satisfeita: para todo \epsilon>0 existe \delta=\epsilon/2>0 tal que 0<|x-4|<\delta implica |f(x)-(-3)|<\epsilon.

Passo 6

Comentário prático para a prova (dica amiga): o passo-chave é sempre escrever |f(x)-L| em termos de |x-x_0|. Para funções lineares como 5-2x isso fica fácil e costuma dar |f(x)-L| = C|x-x_0| com C>0, daí basta escolher \delta=\epsilon/C. Se quiser ver um exemplo numérico rápido: para \epsilon=0{,}1 basta tomar \delta=0{,}05, e assim por diante — isso torna a prova totalmente concreta.

Resposta

\lim_{x\to 4}(5-2x)=-3

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