Usando a definição, demonstre os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, usando a definição (epsilon-delta), que
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde
tende é . - O valor limite a ser comprovado é
.
Objetivo: provar que para todoexiste tal que, sempre que , vale .
Passo 2
Vou lembrar a definição formal de limite que vamos usar (e explicá-la de leve):
O que isto quer dizer em palavras simples: dado qualquer nível de precisão
que você queira para o valor de
em relação a
, devemos encontrar um intervalo em torno de
(de raio
) tal que, sempre que
estiver nesse intervalo (exceto possivelmente no próprio
),
estará a menos de
de
.
Passo 3
Calculo a diferença entre
e o candidato a limite
para ver como ela depende de
:
Fatorando:
Esta é a observação central: a distância entre
e
é exatamente
vezes a distância entre
e
.
Passo 4
A partir de
, para garantir
basta garantir
, ou seja
Portanto uma escolha natural e suficiente é tomar
(Dá para escolher qualquer
menor ou igual a
; no caso linear aqui não precisamos de restrição adicional.)
Passo 5
Agora verifico a condição da definição com essa escolha de
.
Sejam
dado e
. Se
, então
Logo a condição da definição é satisfeita: para todo
existe
tal que
implica
.
Passo 6
Comentário prático para a prova (dica amiga): o passo-chave é sempre escrever
em termos de
. Para funções lineares como
isso fica fácil e costuma dar
com
, daí basta escolher
. Se quiser ver um exemplo numérico rápido: para
basta tomar
, e assim por diante — isso torna a prova totalmente concreta.