Usando a definição, determine as derivadas parciais de 1{ }^{\text {a }} (primeira) ordem da função:
f(x, y)=\left\{\begin{aligned} \frac{y-5}{x+4} ; & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 ; & (x, y)=(0,0)\end{aligned}\right. no ponto (0,0)

Passo 1

O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem de f\) no ponto \((0,0)\). A função é dada por \[f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{y-5}{x+4}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{valor de }f(0,0)=0,
e para pontos diferentes de (0,0)\] usamos \(\displaystyle f(x,y)=\frac{y-5}{x+4}.
As perguntas concretas são:
\text{Calcular }\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\quad\text{e}\quad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0),
usando a definição de derivada parcial (limite com a outra variável fixa).]

Passo 2

Relembrando a definição (passo-a-passo e com linguagem simples):
A derivada parcial de f em (0,0) em relação a x é o limite
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h},
ou seja, fixamos y=0 e estudamos a variação de f ao variar x por um pequeno h. Cada símbolo:
  • h é um incremento pequeno em x;
  • f(0+h,0) é o valor da função no ponto (h,0);
  • dividimos pela variação h para medir a “inclinação” nessa direção.
    Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k},
fixando x=0 e variando y por k.

Passo 3

Calculemos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) aplicando a definição.
Primeiro avalio f(h,0) para h\neq 0. Como (h,0)\neq(0,0), uso a fórmula do enunciado:
f(h,0)=\frac{0-5}{h+4}=\frac{-5}{h+4}.
O quociente incremental é
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{\displaystyle -\frac{5}{h+4}-0}{h}=\frac{-5}{h(h+4)}.
Agora vou analisar o limite quando h\to 0. Para h próximo de 0 temos a aproximação
\frac{-5}{h(h+4)}\approx \frac{-5}{4h},
pois h+4\approx 4. Portanto:
\lim_{h\to 0^+}\frac{-5}{h(h+4)} = -\infty,\qquad \lim_{h\to 0^-}\frac{-5}{h(h+4)} = +\infty.
Os limites laterais são distintos e não finitos, logo o limite bilateral não existe como número real. Conclusão:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\\ \text{não existe (diverge para }\pm\infty\text{).}ã

Passo 4

Calculemos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) pela definição.
Avalio f(0,k) para k\neq 0. Como (0,k)\neq(0,0), uso a fórmula:
f(0,k)=\frac{k-5}{0+4}=\frac{k-5}{4}.
O quociente incremental é
\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\frac{\displaystyle \frac{k-5}{4}-0}{k}=\frac{k-5}{4k}=\frac{1}{4}-\frac{5}{4k}.
Agora o limite quando k\to 0: o termo -\dfrac{5}{4k} explode.
\lim_{k\to 0^+}\left(\frac{1}{4}-\frac{5}{4k}\right) = -\infty,\qquad \lim_{k\to 0^-}\left(\frac{1}{4}-\frac{5}{4k}\right) = +\infty.
Os limites laterais são distintos e não finitos, então o limite bilateral não existe como número real. Conclusão:
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\\ \text{não existe (diverge para }\pm\infty\text{).}ã

Passo 5

Resumo intuitivo (curta aula prática): a derivada parcial mede a inclinação quando me movimento só numa direção. Aqui, mantendo y=0 a função na reta y=0 tem valor \displaystyle f(x,0)=-\dfrac{5}{x+4}, cujo quociente (diferença dividida por h) comporta-se como -\dfrac{5}{4h} para h pequeno — isto é, tem comportamento do tipo 1/h, portanto explode quando h\to 0. Situação análoga ocorre ao variar somente y. Assim nenhuma das derivadas parciais existe em (0,0).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) não existe.
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) não existe.

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