Usando a definição, determine as derivadas parciais de 1{ }^{\text {a }} (primeira) ordem da função: f(x, y)=\left\{\begin{aligned} \frac{y-5}{x+4} ; & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 ; & (x, y)=(0,0)\end{aligned}\right. no ponto (0,0)
Passo 1
O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem de f\) no ponto \((0,0)\). A função é dada por
\[f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{y-5}{x+4}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{valor de }f(0,0)=0,
e para pontos diferentes de (0,0)\] usamos \(\displaystyle f(x,y)=\frac{y-5}{x+4}.
Calculemos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) aplicando a definição.
Primeiro avalio f(h,0) para h\neq 0. Como (h,0)\neq(0,0), uso a fórmula do enunciado:
Os limites laterais são distintos e não finitos, então o limite bilateral não existe como número real. Conclusão:
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\\ \text{não existe (diverge para }\pm\infty\text{).}ã
Passo 5
Resumo intuitivo (curta aula prática): a derivada parcial mede a inclinação quando me movimento só numa direção. Aqui, mantendo y=0 a função na reta y=0 tem valor \displaystyle f(x,0)=-\dfrac{5}{x+4}, cujo quociente (diferença dividida por h) comporta-se como -\dfrac{5}{4h} para h pequeno — isto é, tem comportamento do tipo 1/h, portanto explode quando h\to 0. Situação análoga ocorre ao variar somente y. Assim nenhuma das derivadas parciais existe em (0,0).
Resposta
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) não existe. \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) não existe.