Usando a definição formal de limite, mostre que:
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2}=1

Passo 1

O enunciado pede para provar que a sequência
a_n = \sqrt[n]{2} = 2^{1/n}
converge para 1 quando n\to\infty, usando a definição formal de limite: “para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, se n\ge N, então \lvert a_n -1\rvert<\varepsilon”.

Passo 2

Observe que 2^{1/n}>1 para todo n, logo
\lvert 2^{1/n}-1\rvert = 2^{1/n}-1.
Queremos garantir
2^{1/n}-1<\varepsilon,
ou seja,
2^{1/n}<1+\varepsilon.

Passo 3

Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados da desigualdade 2^{1/n}<1+\varepsilon. Como \ln é crescente,
\frac{\ln 2}{n} < \ln(1+\varepsilon).
Como \ln(1+\varepsilon)>0, essa desigualdade equivale a
n > \frac{\ln 2}{\ln(1+\varepsilon)}.

Passo 4

Dado \varepsilon>0, defina
N = \left\lceil \frac{\ln 2}{\ln(1+\varepsilon)}\right\rceil.
Então, para todo n\ge N temos
n \ge N \ge \frac{\ln 2}{\ln(1+\varepsilon)} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\ln 2}{n} \le \ln(1+\varepsilon) \quad\Longrightarrow\quad 2^{1/n}\le 1+\varepsilon
e assim
\lvert 2^{1/n}-1\rvert = 2^{1/n}-1 \le \varepsilon.
Isso mostra que, para todo \varepsilon>0, existe N que garante \lvert a_n-1\rvert<\varepsilon sempre que n\ge N.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1.

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