Usando a definição formal de limite, mostre que:
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1}=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição formal (ε–N), que a sequência
a_n = \frac{n}{n+1}
tende a 1 quando n\to\infty. Vamos aplicar a definição: dado \varepsilon>0, encontrar N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\bigl|a_n - 1\bigr| < \varepsilon.

Passo 2

Calculemos a diferença
\bigl|\tfrac{n}{n+1} - 1\bigr| = \Bigl|\frac{n - (n+1)}{n+1}\Bigr| = \Bigl|\frac{-1}{n+1}\Bigr| = \frac{1}{n+1}.

Passo 3

Queremos então
\frac{1}{n+1} < \varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad n+1 > \frac{1}{\varepsilon} \quad\Longleftrightarrow\quad n > \frac{1}{\varepsilon} - 1.
Basta escolher
N = \left\lceil \frac{1}{\varepsilon} - 1 \right\rceil,
pois assim, para todo n\ge N, teremos n > \tfrac1\varepsilon -1 e, logo, \tfrac1{n+1}<\varepsilon.

Passo 4

Portanto, dado \varepsilon>0, com N acima garantimos que, sempre que n\ge N,
\bigl|\tfrac{n}{n+1} - 1\bigr| = \frac{1}{n+1} < \varepsilon.
Isso é exatamente o que a definição formal de limite exige. Assim,
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = 1.

Resposta

\displaystyle 1

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