Usando a definição, obtenha o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f em P(a, f(a)) : f(x) = 5 x^2 - 4 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Isso quer dizer que queremos descobrir a inclinação da reta que “toca” o gráfico da função exatamente nesse ponto. Para fazer isso, vamos usar a definição de derivada, que nos dá a taxa de variação instantânea da função naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição de derivada usando limites. A derivada de em , denotada por , é dada por:
Isso significa que vamos calcular a variação da função quando fazemos um pequeno aumento em e depois dividimos por esse aumento, e finalmente vemos o que acontece quando se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos calcular :
Vamos expandir isso:

Passo 4

Agora, vamos calcular :

Passo 5

Substituindo de volta na definição da derivada:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando tende a zero:

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente é .

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