Usando a derivada de logaritmo, calcule f'(x) : f(x) = x^(x-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de usando a derivada de logaritmo. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções que têm variáveis no expoente. Para isso, vamos usar a técnica da diferenciação logarítmica, que é muito útil quando a função tem a forma .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da função para facilitar a derivação. Assim, temos:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, podemos simplificar o lado direito:

Passo 4

Em seguida, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:
No lado direito, aplicamos a regra do produto para derivar :

Passo 5

Agora, igualamos as duas derivadas obtidas:
Para isolarmos , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 6

Lembrando que , substituímos de volta na equação:
Simplificando a fração:
Então, a expressão final fica:

Resposta

A derivada de é:

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