Usando a derivada de logaritmo, calcule y' : y = x^(1/x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de usando a derivada de logaritmo. Para isso, vamos usar a regra da diferenciação logarítmica, que é ótima quando temos funções com variáveis no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a diferenciação:

Passo 3

Sabemos que . Vamos usar isso para simplificar a expressão:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que a derivada de em relação a é usando a regra da cadeia:

Passo 5

Para diferenciar , vamos usar a regra do quociente:

Passo 6

Agora, temos:
Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 7

Lembrando que , substituímos:

Resposta

A derivada de é:

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