Usando derivação implícita, calcule y' : 7y^2 + sen(3x) = 12 - y^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada usando derivação implícita. O enunciado é:
Aqui, vamos utilizar o conceito de derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando a equação relaciona e de forma que não está fácil de isolar . Vamos precisar conhecer as regras de derivação básicas, como a derivada de funções trigonométricas e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo individualmente:
  1. Derivada de :
    Usamos a regra da cadeia. Primeiro, a derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela (derivada de em relação a ):
  2. Derivada de :
    Usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de é vezes a derivada de :
  3. Derivada de :
    A derivada de uma constante é zero:
  4. Derivada de :
    Usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela :

Passo 4

Substituindo as derivadas na equação original, temos:
Simplificando:

Passo 5

Vamos isolar os termos com de um lado e os termos sem do outro lado. Adicionamos aos dois lados:
Fatorando :

Passo 6

Para encontrar , dividimos ambos os lados pela expressão que está multiplicando :

Resposta

A derivada é:

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