Usando a diferenciação logarítmica, derive
y=cos ^2 x cdot tg^4 x(e^2 x+1)^3

Passo 1

Temos a função
y = cos^2x;tan^4xl(e^2x+1r)^3
e queremos encontrar y' usando diferenciação logarítmica. O conteúdo aqui é usar as regras de derivada de ln para simplificar o cálculo.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
ln y = lnl(cos^2xr) + lnl(tan^4xr) - lnl((e^2x+1)^3r)
Usamos as propriedades de logaritmo para obter expoentes à frente:
ln y = 2,ln(cos x) ;+; 4,ln(tan x);-;3,lnl(e^2x+1r)

Passo 3

Agora derivamos em relação a x. Pela regra da derivada de ln,
y'y = 2,ddxl[ln(cos x)r] +4,ddxl[ln(tan x)r] -3,ddxl[ln(e^2x+1)r]
Calculamos cada termo:
ddxln(cos x) = -tan x, ddxln(tan x) = sec^2xtan x = 1sin xcos x, ddxln(e^2x+1) = 2e^2xe^2x+1

Passo 4

Substituindo esses resultados em y'y:
y'y = 2l(-tan xr) +4l(1sin xcos xr) -3l(2e^2xe^2x+1r) = -2tan x + 4sin xcos x - 6e^2xe^2x+1

Passo 5

Finalmente, multiplicamos ambos os lados por y para obter y'. Como
y = cos^2x,tan^4x(e^2x+1)^3,
temos
y' = y;gl[-2tan x + 4sin xcos x - 6e^2xe^2x+1gr]

Resposta

boxed y' = cos^2x,tan^4x(e^2x+1)^3 l[ -2tan x ;+;4sin x,cos x;-;6e^2xe^2x+1 r]

Exercícios relacionados