Sabendo que a equação x^2 y^2+x y=2 define implicitamente y como função de x, pergunta-se: Existe algum ponto sobre a curva no qual a reta tangente é paralela à reta y=5 ?

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^2y^2 + x,y = 2
e pergunta se existe ponto onde a reta tangente seja paralela a y=5. Como y=5 é uma reta horizontal, buscamos pontos onde a derivada y' seja zero. Vamos usar diferenciação implícita e depois impor y'=0.

Passo 2

Diferenciando em relação a x a equação
x^2y^2 + x,y = 2
temos
ddx(x^2y^2) + ddx(x,y) = 0
Pelo produto:
ddx(x^2y^2) = 2x,y^2 + x^2cdot2y,y', ddx(x,y) = y + x,y'
Logo
2x,y^2 + 2x^2y,y' + y + x,y' = 0

Passo 3

Agrupando os termos com y':
y',(2x^2y + x) + (2x,y^2 + y) = 0 Longrightarrow y' = -2x,y^2+y2x^2y + x = -y(2x,y+1)x(2x,y+1)
Convém checar se 2x,y+1 pode ser zero em algum ponto da curva. Se 2x,y+1=0 então xy=-tfrac12, e substituindo em (xy)^2+xy=2 daria tfrac14-tfrac12=-tfrac14neq2. Logo 2x,y+1neq0 nos pontos da curva e podemos simplificar:
y' = -yx

Passo 4

Para reta tangente horizontal requeremos
y' = 0 Longrightarrow -yx = 0 Longrightarrow y = 0
Mas se y=0 a curva dá
x^2cdot0^2 + xcdot0 = 0 neq 2,
logo não há ponto da curva com y=0.

Resposta

Não existe nenhum ponto sobre a curva em que a reta tangente seja paralela à reta y=5.

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