Usando diferenciais, calcule um valor aproximado para:
\cos 61^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \cos 61^{\circ} usando diferenciais. O conteúdo é a linearização de uma função em torno de um ponto conhecido, e vamos precisar da derivada de \cos x e da conversão de graus para radianos.

Passo 2

Definimos f(x)=\cos x e escolhemos o ponto próximo x_{0}=60^{\circ}, pois \cos60^{\circ}=1/2 é exato. Em radianos temos
x_{0} = \frac{\pi}{3}, \quad \Delta x = 1^{\circ} = \frac{\pi}{180}.
A aproximação linear (diferenciais) é
f(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0}) + f'(x_{0})\,\Delta x.

Passo 3

Calculamos
f(x_{0}) = \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac12, \qquad f'(x)= -\sin x \;\Longrightarrow\; f'(x_{0}) = -\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = -\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Substituindo na fórmula da linearização:
\cos61^{\circ}\approx \frac12 + \Bigl(-\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)\cdot\frac{\pi}{180} = \frac12 - \frac{\sqrt{3}\,\pi}{360} \approx 0{,}5 - 0{,}01512 = 0{,}48488\approx 0{,}4849.

Resposta

0,4849

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