Usando diferenciais, calcule um valor aproximado para:
\operatorname{tg}\left(40,5^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede aproximar \tan(40,5^\circ) usando diferenciais, ou seja, fazer a linearização de f(x)=\tan x em torno de um ponto x_0 próximo, de fácil cálculo, convertendo antes graus em radianos.

Passo 2

Escolhemos o ponto base
x_0 = 45^\circ = \frac{\pi}{4}
pois \tan\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1. A diferença de ângulo é
\Delta x = 40,5^\circ - 45^\circ = -4,5^\circ = -\frac{4{,}5\pi}{180} = -\frac{\pi}{40}.

Passo 3

Definimos f(x)=\tan x (com x em radianos). Sua derivada é
f'(x)=\operatorname{sec}^2 x
e, em x_0,
f'(x_0)=\operatorname{sec}^2\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=2.

Passo 4

Pela definição de diferencial,
\Delta f \approx f'(x_0)\,\Delta x = 2\cdot\Bigl(-\frac{\pi}{40}\Bigr) = -\frac{\pi}{20}.

Passo 5

A aproximação de \tan(40,5^\circ) fica
\tan(40,5^\circ)=f\bigl(x_0+\Delta x\bigr)\approx f(x_0)+\Delta f = 1 - \frac{\pi}{20}\approx 1 - 0{,}15708 = 0{,}84292.

Resposta

\tan(40,5^\circ)\approx 0,843

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