Usando os efeitos conhecidos das operações elementares com linhas sobre o determinante de um matriz, demonstre que uma matriz com duas linhas iguais tem determinante nulo. Também demonstre que uma matriz com duas colunas iguais tem determinante nulo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em uma matriz quadrada
, se duas linhas são iguais então
, e também que se duas colunas são iguais então
. Para isso vamos usar as propriedades de determinante: multilinearidade, alternância (trocar duas linhas inverte o sinal do determinante) e o fato de que
.
Passo 2
Suponha que
tenha as linhas
e
exatamente iguais. Seja
a matriz obtida de
permutando-se essas duas linhas. Pela propriedade de alternância em linhas,
Mas como as linhas
e
eram idênticas, a permutação não altera a matriz, ou seja
. Logo
Passo 3
Para colunas, usamos que o determinante é também multilinear e alternante em colunas, ou então que transpor não altera o valor do determinante, isto é,
Se duas colunas de
são iguais, então em
há duas linhas iguais. Pelo passo 2,
. Portanto
Resposta
Se uma matriz tem duas linhas iguais então seu determinante é
. Da mesma forma, se tem duas colunas iguais então seu determinante é
.