Usando os efeitos conhecidos das operações elementares com linhas sobre o determinante de um matriz, demonstre que uma matriz com duas linhas iguais tem determinante nulo. Também demonstre que uma matriz com duas colunas iguais tem determinante nulo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em uma matriz quadrada A, se duas linhas são iguais então \det(A)=0, e também que se duas colunas são iguais então \det(A)=0. Para isso vamos usar as propriedades de determinante: multilinearidade, alternância (trocar duas linhas inverte o sinal do determinante) e o fato de que \det(A^T)=\det(A).

Passo 2

Suponha que A tenha as linhas i e j exatamente iguais. Seja A' a matriz obtida de A permutando-se essas duas linhas. Pela propriedade de alternância em linhas,
\det(A') = -\,\det(A).
Mas como as linhas i e j eram idênticas, a permutação não altera a matriz, ou seja A'=A. Logo
\det(A) = -\,\det(A) \quad\Longrightarrow\quad 2\,\det(A)=0 \quad\Longrightarrow\quad \det(A)=0.

Passo 3

Para colunas, usamos que o determinante é também multilinear e alternante em colunas, ou então que transpor não altera o valor do determinante, isto é,
\det(A^T)=\det(A).
Se duas colunas de A são iguais, então em A^T há duas linhas iguais. Pelo passo 2, \det(A^T)=0. Portanto
\det(A)=\det(A^T)=0.

Resposta

Se uma matriz tem duas linhas iguais então seu determinante é 0. Da mesma forma, se tem duas colunas iguais então seu determinante é 0.

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