Usando a equação de estado de Berthelot:
mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar a equação de estado de Berthelot:
e mostrar que, no ponto crítico, os valores de volume crítico (
), temperatura crítica (
) e pressão crítica (
) são respectivamente:
Para isso, vamos precisar entender o que é o ponto crítico e como encontrar essas propriedades usando a equação de estado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o ponto crítico. O ponto crítico é o ponto na fase do diagrama onde a distinção entre líquido e vapor desaparece. Matematicamente, isso ocorre quando a derivada da pressão em relação ao volume a temperatura constante é zero, e também a segunda derivada é zero. Ou seja:
Então, nosso objetivo é encontrar
,
e
que satisfazem essas condições.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de
em relação a
:
Derivando em relação a
:
No ponto crítico, essa derivada é igual a zero:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
:
Usando a primeira derivada:
Derivando novamente:
No ponto crítico, essa segunda derivada também é zero:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
):
Vamos resolver a primeira equação para
:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda equação:
Passo 7
Agora, temos duas equações:
Vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar
:
Simplificando:
Passo 8
Vamos agora resolver a equação
. Para simplificar, assumimos que
, onde
é uma constante a ser determinada.
Substituindo
na equação:
Passo 9
Dividindo ambos os lados por
:
Para encontrar uma relação consistente, vamos supor que
, ou seja,
.
Substituindo
:
Passo 10
Agora que determinamos que
, vamos encontrar
usando a primeira equação que obtivemos:
Passo 11
Por fim, vamos encontrar
substituindo
e
na equação de Berthelot:
Simplificando as raízes e cálculos:
Após simplificar:
Resposta
Portanto, mostramos que no ponto crítico: