Um pequeno entregador pode transportar madeira ou frutas em seu caminhão. Ele cobra R para cada fardo de madeira e R$35, 00 para cada saco de frutas. Os fardos pesam 1 kg e ocupam 2 dm de espaço. Os sacos de fruta pesam 1 kg e ocupam para cada fardo de madeira e R de espaço. Por uma questão de marketing pessoal, o entregador deseja entregar sempre os dois produtos. No minimo 20 kg de fardos e 30 kg de frutas devem ser entregues em cada viagem. O caminhão tem capacidade para transportar 12.000 kg e 3 dm^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um entregador que transporta dois tipos de produtos: madeira e frutas. Ele cobra R$20 por fardo de madeira e R$35 por saco de frutas. Cada fardo pesa 1 kg e ocupa 2 dm³, enquanto cada saco de fruta também pesa 1 kg, mas ocupa 3 dm³. O entregador quer sempre levar ambos os produtos nas viagens, com pelo menos 20 kg de madeira e 30 kg de frutas por viagem. Além disso, o caminhão tem limitações de peso (12.000 kg) e de espaço (10.000 dm³). Vamos usar Programação Linear para ajudar a decidir quantos fardos de madeira e quantos sacos de frutas ele deve levar para maximizar o lucro, respeitando todas essas restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas variáveis:
  • x: número de fardos de madeira que o entregador vai levar.
  • y: número de sacos de frutas que ele vai levar.

Passo 3

Agora, vamos montar as restrições do problema com base nas informações dadas:
  1. Peso total: Cada fardo de madeira pesa 1 kg e cada saco de fruta também pesa 1 kg. O total de peso não pode exceder 12.000 kg.
    x + y <= 12,!000
  2. Espaço total: Cada fardo ocupa 2 dm³ e cada saco de fruta ocupa 3 dm³. O espaço total não pode exceder 10.000 dm³.
    2x + 3y <= 10,!000
  3. Quantidade mínima de cada produto:
    • Pelo menos 20 kg de madeira:
      x >= 20
    • Pelo menos 30 kg de frutas:
      y >= 30
  4. Não negatividade: Não podemos levar números negativos de fardos ou sacos.
    x >= 0 y >= 0

Passo 4

Vamos montar a função objetivo, que representa o lucro total. Como o entregador cobra R$20 por fardo de madeira e R$35 por saco de frutas, a função objetivo, que queremos maximizar, é:
20 por fardo de madeira e R
Nosso objetivo é encontrar os valores de x e y que maximizem essa função, respeitando todas as restrições que definimos.

Passo 5

Agora, vamos resolver o sistema de inequações que criamos para encontrar os valores de x e y que atendem a todas as condições:
  1. Peso total:
    x + y <= 12,!000
  2. Espaço total:
    2x + 3y <= 10,!000
  3. Quantidade mínima:
    x >= 20 y >= 30
Além disso, lembrando que x e y devem ser maiores ou iguais a zero.
Para resolver isso, podemos usar métodos gráficos ou algoritmos de Programação Linear, como o método Simplex. Aqui, vou simplificar e encontrar os pontos de interseção das restrições para identificar a melhor solução.

Passo 6

Vamos encontrar os pontos de interseção das restrições:
  1. Interseção das restrições de peso e espaço:
    x + y = 12,!000 2x + 3y = 10,!000
    Resolvendo esse sistema:
    Multiplicamos a primeira equação por 2:
    2x + 2y = 24,!000
    Subtraímos a segunda equação:
    (2x + 2y) - (2x + 3y) = 24,!000 - 10,!000 -y = 14,!000 y = -14,!000
    Esse valor negativo não faz sentido no contexto, então essa interseção não é válida.
  2. Interseção da restrição de espaço com a quantidade mínima de frutas:
    y = 30 2x + 3(30) = 10,!000 2x + 90 = 10,!000 2x = 9,!910 x = 4,!955
    Então, um ponto é (4.955, 30).
  3. Interseção da restrição de peso com a quantidade mínima de frutas:
    y = 30 x + 30 = 12,!000 x = 11,!970
    Outro ponto é (11.970, 30).
  4. Interseção da restrição de peso com a quantidade mínima de madeira:
    x = 20 20 + y = 12,!000 y = 11,!980
    Ponto: (20, 11.980)
  5. Interseção da restrição de espaço com a quantidade mínima de madeira:
    x = 20 2(20) + 3y = 10,!000 40 + 3y = 10,!000 3y = 9,!960 y = 3,!320
    Ponto: (20, 3.320)

Passo 7

Agora, vamos calcular o lucro em cada ponto válido que encontramos:
  1. Ponto (4.955, 30):
    Lucro = 20(4.955) + 35(30) = 99.1 + 1.050 = R$1.149,10
  2. Ponto (11.970, 30):
    Lucro = 20(11.970) + 35(30) = 239.4 + 1.050 = R$2.289,40
  3. Ponto (20, 11.980):
    Lucro = 20(20) + 35(11.980) = 400 + 419.3 = R$819,30
  4. Ponto (20, 3.320):
    Lucro = 20(20) + 35(3.320) = 400 + 116.2 = R$516,20
Desses pontos, o que gera o maior lucro é o ponto (11.970, 30) com um lucro de R$2.289,40.

Resposta

O entregador deve transportar 11.970 fardos de madeira e 30 sacos de frutas em cada viagem para maximizar seu lucro, obtendo um total de R$2.289,40 por viagem.

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