Um pequeno entregador pode transportar madeira ou frutas em seu caminhão. Ele cobra
para cada fardo de madeira e R$35, 00 para cada saco de frutas. Os fardos pesam 1 kg e ocupam 2 dm de espaço. Os sacos de fruta pesam 1 kg e ocupam
de espaço. Por uma questão de marketing pessoal, o entregador deseja entregar sempre os dois produtos. No minimo 20 kg de fardos e 30 kg de frutas devem ser entregues em cada viagem. O caminhão tem capacidade para transportar 12.000 kg e
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um entregador que transporta dois tipos de produtos: madeira e frutas. Ele cobra R$20 por fardo de madeira e R$35 por saco de frutas. Cada fardo pesa 1 kg e ocupa 2 dm³, enquanto cada saco de fruta também pesa 1 kg, mas ocupa 3 dm³. O entregador quer sempre levar ambos os produtos nas viagens, com pelo menos 20 kg de madeira e 30 kg de frutas por viagem. Além disso, o caminhão tem limitações de peso (12.000 kg) e de espaço (10.000 dm³). Vamos usar Programação Linear para ajudar a decidir quantos fardos de madeira e quantos sacos de frutas ele deve levar para maximizar o lucro, respeitando todas essas restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas variáveis:
- x: número de fardos de madeira que o entregador vai levar.
- y: número de sacos de frutas que ele vai levar.
Passo 3
Agora, vamos montar as restrições do problema com base nas informações dadas:
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Peso total: Cada fardo de madeira pesa 1 kg e cada saco de fruta também pesa 1 kg. O total de peso não pode exceder 12.000 kg.
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Espaço total: Cada fardo ocupa 2 dm³ e cada saco de fruta ocupa 3 dm³. O espaço total não pode exceder 10.000 dm³.
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Quantidade mínima de cada produto:
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Pelo menos 20 kg de madeira:
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Pelo menos 30 kg de frutas:
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Não negatividade: Não podemos levar números negativos de fardos ou sacos.
Passo 4
Vamos montar a função objetivo, que representa o lucro total. Como o entregador cobra R$20 por fardo de madeira e R$35 por saco de frutas, a função objetivo, que queremos maximizar, é:
Nosso objetivo é encontrar os valores de x e y que maximizem essa função, respeitando todas as restrições que definimos.
Passo 5
Agora, vamos resolver o sistema de inequações que criamos para encontrar os valores de x e y que atendem a todas as condições:
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Peso total:
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Espaço total:
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Quantidade mínima:
Além disso, lembrando que x e y devem ser maiores ou iguais a zero.
Para resolver isso, podemos usar métodos gráficos ou algoritmos de Programação Linear, como o método Simplex. Aqui, vou simplificar e encontrar os pontos de interseção das restrições para identificar a melhor solução.
Passo 6
Vamos encontrar os pontos de interseção das restrições:
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Interseção das restrições de peso e espaço:Resolvendo esse sistema:Multiplicamos a primeira equação por 2:Subtraímos a segunda equação:Esse valor negativo não faz sentido no contexto, então essa interseção não é válida.
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Interseção da restrição de espaço com a quantidade mínima de frutas:Então, um ponto é (4.955, 30).
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Interseção da restrição de peso com a quantidade mínima de frutas:Outro ponto é (11.970, 30).
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Interseção da restrição de peso com a quantidade mínima de madeira:Ponto: (20, 11.980)
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Interseção da restrição de espaço com a quantidade mínima de madeira:Ponto: (20, 3.320)
Passo 7
Agora, vamos calcular o lucro em cada ponto válido que encontramos:
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Ponto (4.955, 30):
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Ponto (11.970, 30):
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Ponto (20, 11.980):
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Ponto (20, 3.320):
Desses pontos, o que gera o maior lucro é o ponto (11.970, 30) com um lucro de R$2.289,40.
Resposta
O entregador deve transportar 11.970 fardos de madeira e 30 sacos de frutas em cada viagem para maximizar seu lucro, obtendo um total de R$2.289,40 por viagem.