Usando o esquema do modelo de camadas, encontre a configuração dos nucleons para
e determine o spin nuclear de cada um deles.
Passo 1
O exercício pede que, usando o modelo de camadas (shell model) do núcleo, a gente ache qual é a configuração dos nucléons (prótons e nêutrons) nos níveis quânticos para os isótopos ³⁶Cl e ³⁷Cl, e em seguida determine o spin nuclear de cada um.
Conteúdo: shell model, números mágicos, preenchimento de níveis e acoplamento de momentos angulares.
Vamos precisar:
Conteúdo: shell model, números mágicos, preenchimento de níveis e acoplamento de momentos angulares.
Vamos precisar:
- Saber os níveis de energia até Z ou N ≃ 20 (1s₁/₂, 1p₃/₂, 1p₁/₂, 1d₅/₂, 2s₁/₂, 1d₃/₂ …)
- Identificar prótons (Z=17) e nêutrons (N=19 em ³⁶Cl; N=20 em ³⁷Cl)
- Usar o princípio de Pauli para ver quem fica desemparelhado e daí achar o spin total.
Passo 2
Configuração de prótons (Z = 17):
– Níveis até 1d₃/₂:
• 1s₁/₂ (2 prótons)
• 1p₃/₂ (4) → total 6
• 1p₁/₂ (2) → total 8
• 1d₅/₂ (6) → total 14
• 2s₁/₂ (2) → total 16
– Faltando 1 próton → entra no próximo nível 1d₃/₂.
Logo: todos os níveis até 2s₁/₂ estão completos e há 1 próton desemparelhado em 1d₃/₂, que tem jₚ = 3/2⁺.
– Níveis até 1d₃/₂:
• 1s₁/₂ (2 prótons)
• 1p₃/₂ (4) → total 6
• 1p₁/₂ (2) → total 8
• 1d₅/₂ (6) → total 14
• 2s₁/₂ (2) → total 16
– Faltando 1 próton → entra no próximo nível 1d₃/₂.
Logo: todos os níveis até 2s₁/₂ estão completos e há 1 próton desemparelhado em 1d₃/₂, que tem jₚ = 3/2⁺.
Passo 3
Configuração de nêutrons:
a) Para ³⁶Cl (N = 19):
– Até 2s₁/₂ cabem 16 nêutrons; em 1d₃/₂ (capacidade 4) entra mais 3 → total 19.
– Sobram 3 nêutrons em 1d₃/₂: como o nível comporta 4, sobra um “vago”, mas equivalem a ter 1 nêutron desemparelhado em jₙ = 3/2⁺.
– Até 2s₁/₂ cabem 16 nêutrons; em 1d₃/₂ (capacidade 4) entra mais 3 → total 19.
– Sobram 3 nêutrons em 1d₃/₂: como o nível comporta 4, sobra um “vago”, mas equivalem a ter 1 nêutron desemparelhado em jₙ = 3/2⁺.
b) Para ³⁷Cl (N = 20):
– Até 1d₃/₂ cabem 20 nêutrons, então esse nível fica completo.
– Não há nêutron desemparelhado (tudo pareado).
– Até 1d₃/₂ cabem 20 nêutrons, então esse nível fica completo.
– Não há nêutron desemparelhado (tudo pareado).
Passo 4
Spin nuclear I = soma (vectorial) dos momentos angulares dos desemparelhados:
Para ³⁶Cl:
– jₚ = 3/2, jₙ = 3/2
– As possíveis somas são I = |jₚ − jₙ|…jₚ + jₙ ⇒ I=0,1,2,3.
– Experimentalmente o estado fundamental fica em I = 2 (e paridade π=⁺×⁺=⁺), ou seja, I^π = 2⁺.
– jₚ = 3/2, jₙ = 3/2
– As possíveis somas são I = |jₚ − jₙ|…jₚ + jₙ ⇒ I=0,1,2,3.
– Experimentalmente o estado fundamental fica em I = 2 (e paridade π=⁺×⁺=⁺), ou seja, I^π = 2⁺.
Para ³⁷Cl:
– Apenas jₚ = 3/2⁺ (nenhum nêutron livre)
– Então I = jₚ = 3/2, com paridade positiva ⇒ I^π = 3/2⁺.
– Apenas jₚ = 3/2⁺ (nenhum nêutron livre)
– Então I = jₚ = 3/2, com paridade positiva ⇒ I^π = 3/2⁺.
Resposta
³⁶Cl: configuração com um próton e um nêutron desemparelhados em 1d₃/₂ ⇒ I^π = 2⁺
³⁷Cl: configuração com um próton desemparelhado em 1d₃/₂ ⇒ I^π = 3/2⁺
³⁷Cl: configuração com um próton desemparelhado em 1d₃/₂ ⇒ I^π = 3/2⁺