Usando funções elementares conhecidas, escreva a função dada como composição de
funções.
Passo 1
O enunciado pede: escrever a função
como composição de
funções elementares.
Informações dadas:
Informações dadas:
e que devemos usar exatamente
funções na composição.
Passo 2
O que significa escrever uma função como composição? Se temos duas funções
e
, a composição
é a função definida por
Para três funções
a composição é
Vou usar essa ideia passo a passo: escolher uma função interna
, uma intermediária
que transforma o resultado de
, e uma externa
que dá o resultado final.
Passo 3
Olhemos a estrutura de
. Por dentro temos
, depois temos a operação
aplicada a isso, e por fim a função
. Então uma escolha natural (simples e com funções elementares) é:
Explico:
é um polinômio (função elementar),
é a função recíproca (elementar) e
é a função cosseno (elementar).
Passo 4
Agora vou compor essas funções passo a passo e mostrar que voltamos a
.
Primeiro calcule
. Substituímos o argumento de
por
:
Em seguida aplicamos
sobre esse resultado:
Isso é exatamente
. Portanto
Passo 5
Verificações adicionais úteis para a prova:
- Contagem: usamos exatamente três funções, então
está satisfeito. - Domínio:
para todo , logo não há divisão por zero ao aplicar ; a composição está bem definida para todo . - Motivação da escolha: escolhi funções simples e naturais seguindo a ordem de operações dentro da expressão — isso é uma estratégia prática na prova: identifique o “núcleo” interno, transforme passo a passo até chegar na função exterior.