Usando funções elementares conhecidas, escreva a função dada como composição de n funções.
f(x)=\cos \left(\frac{1}{x^{2}+1}\right) \quad(n=3)

Passo 1

O enunciado pede: escrever a função f(x)=\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}+1}\right) como composição de n=3 funções elementares.
Informações dadas:
f(x)=\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}+1}\right)
e que devemos usar exatamente n=3 funções na composição.

Passo 2

O que significa escrever uma função como composição? Se temos duas funções g e h, a composição g\circ h é a função definida por
(g\circ h)(x)=g\big(h(x)\big).
Para três funções f_3,f_2,f_1 a composição é
(f_3\circ f_2\circ f_1)(x)=f_3\big(f_2(f_1(x))\big).
Vou usar essa ideia passo a passo: escolher uma função interna f_1, uma intermediária f_2 que transforma o resultado de f_1, e uma externa f_3 que dá o resultado final.

Passo 3

Olhemos a estrutura de f(x). Por dentro temos x^{2}+1, depois temos a operação 1/(\cdot) aplicada a isso, e por fim a função \cos(\cdot). Então uma escolha natural (simples e com funções elementares) é:
f_1(x)=x^{2}+1,
f_2(x)=\frac{1}{x},
f_3(x)=\cos x.
Explico: f_1 é um polinômio (função elementar), f_2 é a função recíproca (elementar) e f_3 é a função cosseno (elementar).

Passo 4

Agora vou compor essas funções passo a passo e mostrar que voltamos a f(x).
Primeiro calcule f_2(f_1(x)). Substituímos o argumento de f_2 por f_1(x):
f_2(f_1(x))=\frac{1}{f_1(x)}=\frac{1}{x^{2}+1}.
Em seguida aplicamos f_3 sobre esse resultado:
f_3\big(f_2(f_1(x))\big)=\cos\!\left(f_2(f_1(x))\right)=\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}+1}\right).
Isso é exatamente f(x). Portanto
(f_3\circ f_2\circ f_1)(x)=\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}+1}\right)=f(x).

Passo 5

Verificações adicionais úteis para a prova:
  • Contagem: usamos exatamente três funções, então n=3 está satisfeito.
  • Domínio: x^{2}+1\ge 1 para todo x\in\mathbb{R}, logo não há divisão por zero ao aplicar f_2; a composição está bem definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Motivação da escolha: escolhi funções simples e naturais seguindo a ordem de operações dentro da expressão — isso é uma estratégia prática na prova: identifique o “núcleo” interno, transforme passo a passo até chegar na função exterior.

Resposta

f(x)=(f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1})(x), onde
f_{1}(x)=x^{2}+1,\qquad f_{2}(x)=\frac{1}{x},\qquad f_{3}(x)=\cos x.

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