Usando funções elementares conhecidas, escreva a função dada como composição de n funções.
f(x)=\operatorname{sen}^{2}(2 x+1) \quad(n=3)

Passo 1

O enunciado pede: expressar a função f como composição de n funções elementares, com n=3. A função dada é
f(x)=\sin^{2}(2x+1).
Informações relevantes: a função é formada por uma soma/escala linear 2x+1, seguida da aplicação do seno, seguida da elevação ao quadrado. Queremos três funções f_{1},f_{2},f_{3} tais que
f=f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1},
ou seja, f(x)=f_{3}\big(f_{2}\big(f_{1}(x)\big)\big).

Passo 2

O que significa “composição de funções” (mini-aula): se temos funções g e h, a composição g\circ h é a função que aplica primeiro h e depois g. Em notação:
(g\circ h)(x)=g\big(h(x)\big).
Quando queremos decompor uma função complexa, a estratégia prática é “descascar” as operações de fora para dentro: identifique a operação mais externa (a última aplicada) e faça dela uma função; depois identifique a próxima, e assim por diante.

Passo 3

Identificando as camadas em f(x)=\sin^{2}(2x+1):
  • A operação mais externa é elevar ao quadrado: toma um número y e dá y^{2}.
  • A operação intermediária é aplicar \sin: transforma um número z em \sin z.
  • A operação mais interna é a função linear x\mapsto 2x+1.
Então faz sentido definir três funções correspondentes a essas camadas.

Passo 4

Definição explícita das três funções (cada uma é elementar e simples):
f_{1}(x)=2x+1,
f_{2}(x)=\sin x,
f_{3}(x)=x^{2}.
Aqui f_{1} recebe x e faz a transformação linear; f_{2} recebe o resultado e aplica o seno; f_{3} recebe o seno e eleva ao quadrado.

Passo 5

Verificação passo a passo (mostrando que a composição dá exatamente f):
Primeiro calcule f_{1}(x):
f_{1}(x)=2x+1.
Em seguida aplique f_{2} sobre esse resultado:
f_{2}\big(f_{1}(x)\big)=\sin\big(2x+1\big).
Finalmente aplique f_{3}:
f_{3}\big(f_{2}\big(f_{1}(x)\big)\big)=\big(\sin(2x+1)\big)^{2}=\sin^{2}(2x+1)=f(x).
Portanto a composição f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1} reproduz exatamente a função original.

Passo 6

Dica para a prova (curta e prática): sempre “puxe” a operação mais externa e transforme-a em f_{n}, depois prossiga para a seguinte. Aqui a ordem natural é f_{1} = parte interna, f_{2} = próxima, f_{3} = externa, e depois verificar f=f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}. Isso é rápido de fazer sem calculadora.

Resposta

f_{1}(x)=2x+1
f_{2}(x)=\sin x
f_{3}(x)=x^{2}
f=f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}

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