Usando funções elementares conhecidas, escreva a função dada como composição de
funções.
Passo 1
O enunciado pede: expressar a função
como composição de
funções elementares, com
. A função dada é
Informações relevantes: a função é formada por uma soma/escala linear
, seguida da aplicação do seno, seguida da elevação ao quadrado. Queremos três funções
tais que
ou seja,
.
Passo 2
O que significa “composição de funções” (mini-aula): se temos funções
e
, a composição
é a função que aplica primeiro
e depois
. Em notação:
Quando queremos decompor uma função complexa, a estratégia prática é “descascar” as operações de fora para dentro: identifique a operação mais externa (a última aplicada) e faça dela uma função; depois identifique a próxima, e assim por diante.
Passo 3
Identificando as camadas em
:
- A operação mais externa é elevar ao quadrado: toma um número
e dá . - A operação intermediária é aplicar
: transforma um número em . - A operação mais interna é a função linear
.
Então faz sentido definir três funções correspondentes a essas camadas.
Passo 4
Definição explícita das três funções (cada uma é elementar e simples):
Aqui
recebe
e faz a transformação linear;
recebe o resultado e aplica o seno;
recebe o seno e eleva ao quadrado.
Passo 5
Verificação passo a passo (mostrando que a composição dá exatamente
):
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Em seguida aplique
sobre esse resultado:
Finalmente aplique
:
Portanto a composição
reproduz exatamente a função original.
Passo 6
Dica para a prova (curta e prática): sempre “puxe” a operação mais externa e transforme-a em
, depois prossiga para a seguinte. Aqui a ordem natural é
= parte interna,
= próxima,
= externa, e depois verificar
. Isso é rápido de fazer sem calculadora.