2.4-5 Usando a integração direta, determine
*
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as três convoluções seguintes usando integração direta:
- [u(t) * u(t)).
-
. -
.
Informações dadas e convenções que vou usar (tudo retirado do enunciado ou padrão):
-
é a função degrau unitário: (,u(t)= ] - A convolução de duas funções
e é definida por
- Todas as funções dadas são causais (multiplicadas por
), portanto a integral vai reduzir-se a um intervalo finito que vou determinar em cada caso.
Passo 2
Explicando de forma bem clara a ideia que vou usar (uma “aula rápida” sobre o que acontece em prova): se
e
são causais (zero para tempo negativo), então em
os fatores
e
só são não nulos quando
e
simultaneamente. Essas duas condições equivalem a
Portanto, para
a integral é zero; para
a integral fica
Esse é um truque poderoso: para sinais causais a convolução vira uma integral de
a
. Vou aplicar isso direto em cada caso. Força aí — isso facilita muito na prova!
Passo 3
Calcular
.
Escrevo a integral usando a regra dos causais:
Pelo raciocínio do passo anterior, para
a integral é zero. Para
os limites são
e dentro do intervalo
e
, logo
Para colocar a causalidade explícita, escrevemos o resultado multiplicado por
:
Intuição rápida: convoluir o degrau com ele dá uma rampa (função linear em
para
).
Passo 4
Calcular
.
Defino
. Então
Novamente, para
o resultado é zero. Para
o intervalo de integração é
. Dentro desse intervalo o produto dos exponenciais simplifica:
Portanto, para
,
Colocando a causalidade:
Observação rápida: essa simplificação ocorreu porque o exponencial depende de
e
de modo que juntos dão dependência somente em
.
Passo 5
Calcular
.
Aqui a primeira função é
(atenção: na integração a variável será
, então o integrando terá
). A convolução é
De novo, para
o resultado é zero. Para
os limites são
e temos
Impondo causalidade:
Dica de prova: isso é consequência do fato geral
quando
é o degrau, e aqui
.
Passo 6
Checagem rápida e resumo mental (útil na hora da prova): para sinais causais
Em particular
dá a rampa
; convoluir
com
integra
de
até
. Essas propriedades ajudam a fazer cálculos sem complicação.