2.4-5 Usando a integração direta, determine u(t) * u(t), e^{-a t} u(t) * e^{-a t} u(t) e t u(t) * u(t).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as três convoluções seguintes usando integração direta:
  • [u(t) * u(t)).
  • e^{-a t} u(t) * e^{-a t} u(t).
  • t\,u(t) * u(t).
Informações dadas e convenções que vou usar (tudo retirado do enunciado ou padrão):
  • u(t) é a função degrau unitário: (,u(t)= \begin{cases}1,&t\ge 0,\\\ 0,&t<0,\end{cases}]
  • A convolução de duas funções f e g é definida por
(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
  • Todas as funções dadas são causais (multiplicadas por u(t)), portanto a integral vai reduzir-se a um intervalo finito que vou determinar em cada caso.

Passo 2

Explicando de forma bem clara a ideia que vou usar (uma “aula rápida” sobre o que acontece em prova): se f e g são causais (zero para tempo negativo), então em
(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau
os fatores f(\tau) e g(t-\tau) só são não nulos quando \tau\ge 0 e t-\tau\ge 0 simultaneamente. Essas duas condições equivalem a
0\le \tau \le t.
Portanto, para t<0 a integral é zero; para t\ge 0 a integral fica
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Esse é um truque poderoso: para sinais causais a convolução vira uma integral de 0 a t. Vou aplicar isso direto em cada caso. Força aí — isso facilita muito na prova!

Passo 3

Calcular u(t) * u(t).
Escrevo a integral usando a regra dos causais:
(u*u)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} u(\tau)\,u(t-\tau)\,d\tau.
Pelo raciocínio do passo anterior, para t<0 a integral é zero. Para t\ge 0 os limites são 0\le \tau\le t e dentro do intervalo u(\tau)=1 e u(t-\tau)=1, logo
(u*u)(t)=\int_{0}^{t} 1\,d\tau = \left[\tau\right]_{0}^{t}=t.
Para colocar a causalidade explícita, escrevemos o resultado multiplicado por u(t):
(u*u)(t)=t\,u(t).
Intuição rápida: convoluir o degrau com ele dá uma rampa (função linear em t para t\ge 0).

Passo 4

Calcular e^{-a t} u(t) * e^{-a t} u(t).
Defino f(t)=e^{-a t}u(t). Então
(f*f)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a \tau}u(\tau)\,e^{-a (t-\tau)}u(t-\tau)\,d\tau.
Novamente, para t<0 o resultado é zero. Para t\ge 0 o intervalo de integração é 0\le \tau\le t. Dentro desse intervalo o produto dos exponenciais simplifica:
e^{-a \tau}\,e^{-a (t-\tau)}=e^{-a t}.
Portanto, para t\ge 0,
(f*f)(t)=\int_{0}^{t} e^{-a t}\,d\tau = e^{-a t}\int_{0}^{t} d\tau = e^{-a t}\,t.
Colocando a causalidade:
\big(e^{-a t}u(t) * e^{-a t}u(t)\big)(t)=t\,e^{-a t}\,u(t).
Observação rápida: essa simplificação ocorreu porque o exponencial depende de \tau e t-\tau de modo que juntos dão dependência somente em t.

Passo 5

Calcular t\,u(t) * u(t).
Aqui a primeira função é f(t)=t\,u(t) (atenção: na integração a variável será \tau, então o integrando terá \tau). A convolução é
(f*u)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \tau\,u(\tau)\,u(t-\tau)\,d\tau.
De novo, para t<0 o resultado é zero. Para t\ge 0 os limites são 0\le \tau\le t e temos
(f*u)(t)=\int_{0}^{t} \tau\,d\tau = \left[\tfrac{\tau^{2}}{2}\right]_{0}^{t}=\tfrac{t^{2}}{2}.
Impondo causalidade:
\big(t\,u(t) * u(t)\big)(t)=\tfrac{t^{2}}{2}\,u(t).
Dica de prova: isso é consequência do fato geral (f*u)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,d\tau quando u é o degrau, e aqui f(\tau)=\tau.

Passo 6

Checagem rápida e resumo mental (útil na hora da prova): para sinais causais
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Em particular u*u dá a rampa t\,u(t); convoluir f com u integra f de 0 até t. Essas propriedades ajudam a fazer cálculos sem complicação.

Resposta

(u*u)(t)=t\,u(t)
(e^{-a t}u(t) * e^{-a t}u(t))(t)=t\,e^{-a t}\,u(t)
(t\,u(t) * u(t))(t)=\tfrac{t^{2}}{2}\,u(t)

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