Informações fornecidas (peguei todas do enunciado):
A definição por pedaços é
f(x)= \begin{cases} 2, & -1 \le x < -0{,}5,\\[4pt] 0, & -0{,}5 \le x < 0{,}5,\\[4pt] 2, & 0{,}5 \le x < 1, \end{cases}
O sinal é periódico com período \,1{,}5, isto é \,f(x+1{,}5)=f(x).
Observação importante sobre o domínio: o enunciado fornece valores em [-1,1) e afirma periodicidade de período T=1{,}5. Isso é compatível: basta escolher um intervalo fundamental de comprimento T=1{,}5 (por exemplo [-T/2,T/2)=(-0{,}75,0{,}75)) e usar a fórmula periódica para obter os valores naquele intervalo a partir da definição dada em [-1,1). A resolução a seguir trabalha com o intervalo simétrico [-0{,}75,0{,}75) como período fundamental.]
Passo 2
Escolher o intervalo fundamental e ver a forma do sinal dentro dele.
Vamos determinar f(x) em [-0{,}75,0{,}75). Usando a definição dada em [-1,1):
Para x\in[-0{,}75,-0{,}5) tem-se f(x)=2 (porque esse intervalo está contido em [-1,-0{,}5));
Para x\in[-0{,}5,0{,}5) tem-se f(x)=0;
Para x\in[0{,}5,0{,}75) tem-se f(x)=2.
Portanto, no intervalo fundamental [-0{,}75,0{,}75) o sinal é uma “janela” com valor 2 em duas pequenas faixas de largura 0{,}25 (uma à esquerda e outra à direita) e 0 no meio (largura 1{,}0). Observação: f é par (simétrico): \,f(-x)=f(x).
Passo 3
Definir a forma padrão da série de Fourier que usaremos e as fórmulas dos coeficientes.
(lembrando que a série usa \tfrac{a_0}{2} como termo constante).
Justificativa curta das fórmulas (intuição): essas integrais projetam f nas funções ortogonais \cos(n\omega_0 x) e \sin(n\omega_0 x) no intervalo de um período; isso dá os coeficientes da expansão.
Passo 4
Cálculo do termo médio \tfrac{a_0}{2}.
Calcular a integral de f num período. Como f=2 em duas faixas de largura 0{,}25 e 0 no restante, a integral em um período vale
Isto dá uma forma prática para calcular os coeficientes numéricos.
Passo 9
Esboço do gráfico (como desenhar na prova) — instruções práticas.
Em cada período T=1{,}5, escolha um intervalo centrado em 0 como [-0{,}75,0{,}75).
No interior deste intervalo desenhe: um bloco de altura 2 em [-0{,}75,-0{,}5), um trecho em 0 em [-0{,}5,0{,}5) e outro bloco de altura 2 em [0{,}5,0{,}75).
Repita esse padrão a cada 1{,}5 unidades ao longo do eixo x.
Marcar as larguras: as duas faixas altas têm largura 0{,}25 cada; a faixa central tem largura 1{,}0. Marcar amplitude 2.
Esse esboço resulta em um trem de pulsos simétricos (função par) de período 1{,}5.
Resposta
Gráfico: sinal periódico de período T=1{,}5 com, em cada período [-0{,}75,0{,}75), f(x)=2 para x\in[-0{,}75,-0{,}5)\cup[0{,}5,0{,}75) e f(x)=0 para x\in[-0{,}5,0{,}5).
Série de Fourier: