• Esboce o gráfico e determine a série de Fourier do sinal descrito abaixo:
f(x)= \begin{cases}2, & -1 \leq x<-0,5 \\\\ 0, & -0,5 \leq x<0,5 ; f(x+1,5)=f(x) \\\\ 2, & 0,5 \leq x<1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Esboçar o gráfico do sinal periódico dado.
  • Determinar a série de Fourier do sinal.
Informações fornecidas (peguei todas do enunciado):
  • A definição por pedaços é
f(x)= \begin{cases} 2, & -1 \le x < -0{,}5,\\[4pt] 0, & -0{,}5 \le x < 0{,}5,\\[4pt] 2, & 0{,}5 \le x < 1, \end{cases}
  • O sinal é periódico com período \,1{,}5, isto é \,f(x+1{,}5)=f(x).
Observação importante sobre o domínio: o enunciado fornece valores em [-1,1) e afirma periodicidade de período T=1{,}5. Isso é compatível: basta escolher um intervalo fundamental de comprimento T=1{,}5 (por exemplo [-T/2,T/2)=(-0{,}75,0{,}75)) e usar a fórmula periódica para obter os valores naquele intervalo a partir da definição dada em [-1,1). A resolução a seguir trabalha com o intervalo simétrico [-0{,}75,0{,}75) como período fundamental.]

Passo 2

Escolher o intervalo fundamental e ver a forma do sinal dentro dele.
  • Período: \,T=1{,}5.
  • Frequência angular fundamental: \,\omega_0=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{1{,}5}=\dfrac{4\pi}{3}.
Vamos determinar f(x) em [-0{,}75,0{,}75). Usando a definição dada em [-1,1):
  • Para x\in[-0{,}75,-0{,}5) tem-se f(x)=2 (porque esse intervalo está contido em [-1,-0{,}5));
  • Para x\in[-0{,}5,0{,}5) tem-se f(x)=0;
  • Para x\in[0{,}5,0{,}75) tem-se f(x)=2.
Portanto, no intervalo fundamental [-0{,}75,0{,}75) o sinal é uma “janela” com valor 2 em duas pequenas faixas de largura 0{,}25 (uma à esquerda e outra à direita) e 0 no meio (largura 1{,}0). Observação: f é par (simétrico): \,f(-x)=f(x).

Passo 3

Definir a forma padrão da série de Fourier que usaremos e as fórmulas dos coeficientes.
Usarei a forma
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[a_n\cos\bigl(n\omega_0 x\bigr)+b_n\sin\bigl(n\omega_0 x\bigr)\Bigr],
onde, para período T,
a_n=\frac{2}{T}\int_{\text{um período}} f(x)\cos\bigl(n\omega_0 x\bigr)\,dx, \qquad b_n=\frac{2}{T}\int_{\text{um período}} f(x)\sin\bigl(n\omega_0 x\bigr)\,dx,íí
e em particular
a_0=\frac{2}{T}\int_{\text{um período}} f(x)\,dxí
(lembrando que a série usa \tfrac{a_0}{2} como termo constante).
Justificativa curta das fórmulas (intuição): essas integrais projetam f nas funções ortogonais \cos(n\omega_0 x) e \sin(n\omega_0 x) no intervalo de um período; isso dá os coeficientes da expansão.

Passo 4

Cálculo do termo médio \tfrac{a_0}{2}.
Calcular a integral de f num período. Como f=2 em duas faixas de largura 0{,}25 e 0 no restante, a integral em um período vale
\int_{\text{um período}} f(x)\,dx = 2\cdot(0{,}25+0{,}25)=2\cdot 0{,}5=1.í
Então
a_0=\frac{2}{T}\int_{\text{um período}} f(x)\,dx=\frac{2}{1{,}5}\cdot 1=\frac{4}{3}.í
Portanto o termo constante (média) é
\frac{a_0}{2}=\frac{2}{3}.
Interpretação rápida: a média do sinal em um período é \,2/3.

Passo 5

Observação sobre paridade e consequência para b_n.
Como f é função par ( f(-x)=f(x)), as projeções sobre senos (funções ímpares) são zero. Logo para todo n
b_n=0.
Isso simplifica a série: só aparecerão coeficientes a_n multiplicando \cos(n\omega_0 x).

Passo 6

Cálculo de a_n.
Usar a fórmula
a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(x)\cos(n\omega_0 x)\,dx.
Como f e \cos são pares, pode-se escrever
a_n=\frac{4}{T}\int_{0}^{T/2} f(x)\cos(n\omega_0 x)\,dx.
No intervalo 0\le x<0{,}75 (que é [0,T/2)) temos f(x)=0 para 0\le x<0{,}5 e f(x)=2 para 0{,}5\le x<0{,}75. Assim
a_n=\frac{4}{T}\int_{0{,}5}^{0{,}75} 2\cos(n\omega_0 x)\,dx =\frac{8}{T}\int_{0{,}5}^{0{,}75}\cos(n\omega_0 x)\,dx.
Calcule a integral. Lembrando \omega_0=\dfrac{4\pi}{3}, defina \,k=n\omega_0=n\cdot\dfrac{4\pi}{3}. Então
\int_{0{,}5}^{0{,}75}\cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\bigl[\sin(kx)\bigr]_{0{,}5}^{0{,}75} =\frac{1}{k}\bigl(\sin(0{,}75k)-\sin(0{,}5k)\bigr).
Substituindo em a_n:
a_n=\frac{8}{T}\cdot\frac{1}{k}\bigl(\sin(0{,}75k)-\sin(0{,}5k)\bigr).

Passo 7

Simplificar a_n usando valores de k e identidades trigonométricas.
Recordando T=1{,}5 e k=n\cdot\dfrac{4\pi}{3}, note que
T\cdot k = 1{,}5\cdot\frac{4\pi n}{3}=2\pi n.
Então
\frac{8}{T}\cdot\frac{1}{k}=\frac{8}{T k}=\frac{8}{2\pi n}=\frac{4}{\pi n}.
Também calcule as duas avaliações:
0{,}75\,k=\frac{3}{4}\cdot\frac{4\pi n}{3}=\pi n, \qquad 0{,}5\,k=\frac{1}{2}\cdot\frac{4\pi n}{3}=\frac{2\pi n}{3}.
E \sin(\pi n)=0 para todo inteiro n. Assim
a_n=\frac{4}{\pi n}\bigl(\sin(\pi n)-\sin\bigl(\tfrac{2\pi n}{3}\bigr)\bigr) =\frac{4}{\pi n}\bigl(0-\sin\bigl(\tfrac{2\pi n}{3}\bigr)\bigr) =-\frac{4}{\pi n}\sin\bigl(\tfrac{2\pi n}{3}\bigr).
Portanto, para todo n\ge 1,
a_n=-\frac{4}{\pi n}\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi n}{3}\bigr), \qquad b_n=0.

Passo 8

Expressões alternativas (forma explícita por classes de n módulo 3).
A função \sin\!\bigl(\tfrac{2\pi n}{3}\bigr) toma valores simples dependendo de n modulo 3:
  • Se n=3m então \sin\!\bigl(\tfrac{2\pi n}{3}\bigr)=0 \Rightarrow a_{3m}=0.
  • Se n=3m+1 então \sin\!\bigl(\tfrac{2\pi n}{3}\bigr)=\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, logo
a_{3m+1}=-\frac{4}{\pi(3m+1)}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{2\sqrt{3}}{\pi(3m+1)}.
  • Se n=3m+2 então \sin\!\bigl(\tfrac{2\pi n}{3}\bigr)=\sin\!\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}, logo
a_{3m+2}=-\frac{4}{\pi(3m+2)}\cdot\bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)=\frac{2\sqrt{3}}{\pi(3m+2)}.
Isto dá uma forma prática para calcular os coeficientes numéricos.

Passo 9

Esboço do gráfico (como desenhar na prova) — instruções práticas.
  • Em cada período T=1{,}5, escolha um intervalo centrado em 0 como [-0{,}75,0{,}75).
  • No interior deste intervalo desenhe: um bloco de altura 2 em [-0{,}75,-0{,}5), um trecho em 0 em [-0{,}5,0{,}5) e outro bloco de altura 2 em [0{,}5,0{,}75).
  • Repita esse padrão a cada 1{,}5 unidades ao longo do eixo x.
  • Marcar as larguras: as duas faixas altas têm largura 0{,}25 cada; a faixa central tem largura 1{,}0. Marcar amplitude 2.
Esse esboço resulta em um trem de pulsos simétricos (função par) de período 1{,}5.

Resposta

Gráfico: sinal periódico de período T=1{,}5 com, em cada período [-0{,}75,0{,}75), f(x)=2 para x\in[-0{,}75,-0{,}5)\cup[0{,}5,0{,}75) e f(x)=0 para x\in[-0{,}5,0{,}5).
Série de Fourier:
f(x)=\frac{2}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[-\frac{4}{\pi n}\sin\!\biggl(\frac{2\pi n}{3}\biggr)\right]\cos\!\biggl(\frac{4\pi n}{3}x\biggr).

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