2.4-6 Usando a integração direta, determine sen
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular, usando integração direta (convolução no tempo), as convoluções entre sinais que envolvem a função degrau unitário
. Interpreto o enunciado como as duas convoluções separadas:
- calcular
; - calcular
.
Informações relevantes fornecidas:
-
é o degrau unitário, isto é para e para . - As funções
e são sinais causais (valem zero para ). - Queremos a convolução temporal padrão entre essas funções.
Passo 2
Relembrando a definição e uma propriedade útil para sinais causais.
- A definição de convolução (no tempo) para sinais
e é
Expliquei o que cada símbolo significa:
-
é o primeiro sinal avaliado no tempo de integração ; -
é o segundo sinal deslocado e avaliado em ; -
a integração vai sobre todo o eixo do tempo, mas os sinais podem zerar em partes, reduzindo os limites.
-
Para sinais causais (isto é, ambos nulos para tempos negativos), a convolução simplifica: se
e para , então
e
para
. No caso particular em que
(o degrau), e
é causal, temos
porque
sempre que
. Esta é a propriedade que vamos usar: convoluir um sinal causal com
equivale a integrar o sinal de
até
.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao primeiro caso
.
- Como
é causal, para vale
Agora calculamos a integral passo a passo. A primitiva de
é
com sinal negativo? Atenção: a derivada de
é
, então a primitiva de
é
multiplicado por
; o antiderivado correto é
com sinal negativo trocado: na prática
Vou escrever direto e correto: uma primitiva de
é
multiplicada por
? Melhor: a primitiva bem conhecida é
Para evitar ambiguidade, calculo diretamente usando a primitiva conhecida:
Como
, obtemos para
Para
o resultado é zero (produto com
). Portanto a expressão completa, incluindo causalidade, é
Passo 4
Agora aplicando ao segundo caso
.
- Pelo mesmo raciocínio, para
Calculamos a integral: uma primitiva de
é
. Assim
Como
, obtemos para
Incluindo a causalidade (zero para
), a forma final é
Passo 5
Pequena verificação (intuitiva) para dar confiança:
- Para
, derivando obtém-se , que é exatamente o integrando original; isso é coerente com a relação entre convolução com e integração. - Para
, derivando obtém-se , coerente também. - Em
ambos os resultados são zero, como esperado para sinais causais.