2.4-6 Usando a integração direta, determine sen t u(t) * u(t) \mathrm{e} \cos t u(t) * u(t).

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando integração direta (convolução no tempo), as convoluções entre sinais que envolvem a função degrau unitário u(t). Interpreto o enunciado como as duas convoluções separadas:
  • calcular \bigl(\sin t\;u(t)\bigr) * u(t);
  • calcular \bigl(\cos t\;u(t)\bigr) * u(t).
Informações relevantes fornecidas:
  • u(t) é o degrau unitário, isto é u(t)=0 para t<0 e u(t)=1 para t\ge0.
  • As funções \sin t\;u(t) e \cos t\;u(t) são sinais causais (valem zero para t<0).
  • Queremos a convolução temporal padrão entre essas funções.

Passo 2

Relembrando a definição e uma propriedade útil para sinais causais.
  • A definição de convolução (no tempo) para sinais x(t) e h(t) é
(x*h)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Expliquei o que cada símbolo significa:
  • x(\tau) é o primeiro sinal avaliado no tempo de integração \tau;
  • h(t-\tau) é o segundo sinal deslocado e avaliado em t-\tau;
  • a integração vai sobre todo o eixo do tempo, mas os sinais podem zerar em partes, reduzindo os limites.
  • Para sinais causais (isto é, ambos nulos para tempos negativos), a convolução simplifica: se x(t)=0 e h(t)=0 para t<0, então
(x*h)(t)=\int_{0}^{t} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau\quad\text{para }t\ge0,
e (x*h)(t)=0 para t<0. No caso particular em que h(t)=u(t) (o degrau), e x(t) é causal, temos
(x*u)(t)=\int_{0}^{t} x(\tau)\,d\tau\quad\text{para }t\ge0,
porque u(t-\tau)=1 sempre que 0\le\tau\le t. Esta é a propriedade que vamos usar: convoluir um sinal causal com u(t) equivale a integrar o sinal de 0 até t.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao primeiro caso \bigl(\sin t\;u(t)\bigr) * u(t).
  • Como \sin t\;u(t) é causal, para t\ge0 vale
\bigl(\sin t\;u(t)\bigr)*u(t)=\int_{0}^{t}\sin(\tau)\,d\tau.
Agora calculamos a integral passo a passo. A primitiva de \sin(\tau) é -\cos(\tau) com sinal negativo? Atenção: a derivada de \cos\tau é -\sin\tau, então a primitiva de \sin\tau é -\cos\tau multiplicado por -1; o antiderivado correto é -\cos\tau com sinal negativo trocado: na prática
\int \sin(\tau)\,d\tau = -\cos(\tau)\cdot(-1) = -\cos\tau\\ (-)\\ \text{isso está confuso}.á
Vou escrever direto e correto: uma primitiva de \sin\tau é -\cos\tau multiplicada por -1? Melhor: a primitiva bem conhecida é
\int \sin(\tau)\,d\tau = -\cos(\tau)\cdot(-1)\\ \text{— desculpe a confusão; a forma correta é }\int \sin\tau\,d\tau = -\cos\tau\\ \text{com sinal trocado}.ãé
Para evitar ambiguidade, calculo diretamente usando a primitiva conhecida:
\int_{0}^{t}\sin(\tau)\,d\tau = \bigl[-\cos(\tau)\bigr]_{0}^{t} = \bigl(-\cos t\bigr)-\bigl(-\cos 0\bigr) = -\cos t + \cos 0.
Como \cos 0=1, obtemos para t\ge0
\bigl(\sin t\;u(t)\bigr)*u(t)=1-\cos t.
Para t<0 o resultado é zero (produto com u(t)). Portanto a expressão completa, incluindo causalidade, é
\bigl(\sin t\;u(t)\bigr)*u(t) = \bigl(1-\cos t\bigr)\,u(t).

Passo 4

Agora aplicando ao segundo caso \bigl(\cos t\;u(t)\bigr) * u(t).
  • Pelo mesmo raciocínio, para t\ge0
\bigl(\cos t\;u(t)\bigr)*u(t)=\int_{0}^{t}\cos(\tau)\,d\tau.
Calculamos a integral: uma primitiva de \cos\tau é \sin\tau. Assim
\int_{0}^{t}\cos(\tau)\,d\tau = \bigl[\sin(\tau)\bigr]_{0}^{t} = \sin t - \sin 0.
Como \sin 0=0, obtemos para t\ge0
\bigl(\cos t\;u(t)\bigr)*u(t)=\sin t.
Incluindo a causalidade (zero para t<0), a forma final é
\bigl(\cos t\;u(t)\bigr)*u(t)=\sin t\,u(t).

Passo 5

Pequena verificação (intuitiva) para dar confiança:
  • Para t>0, derivando \bigl(1-\cos t\bigr) obtém-se \sin t, que é exatamente o integrando original; isso é coerente com a relação entre convolução com u(t) e integração.
  • Para t>0, derivando \sin t obtém-se \cos t, coerente também.
  • Em t<0 ambos os resultados são zero, como esperado para sinais causais.

Resposta

\bigl(\sin t\;u(t)\bigr)*u(t)=\bigl(1-\cos t\bigr)\,u(t)
\bigl(\cos t\;u(t)\bigr)*u(t)=\sin t\,u(t)

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