Usando integração por partes calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - A operação pedida é uma antiderivada (integral indefinida), então a resposta deve conter uma constante de integração
.
Passo 2
Apresentando a técnica pedida: integração por partes.
Fórmula de integração por partes (uma “regra” que vem da regra do produto na diferenciação). Se escolhermos duas funções
e
com derivadas apropriadas, escrevemos
Aqui:
-
é uma função de escolhida para ser diferenciada; é sua diferencial, isto é . -
é a parte que vamos integrar para obter ; isto é, .
Breve justificativa (intuição): começar com a identidade
. Integrando ambos os lados e reordenando, chega-se à fórmula acima. A ideia prática é escolher
simples de derivar e
simples de integrar.
Regra prática para escolher
: quando há um polinômio multiplicando funções exponenciais, trigonométricas ou logaritmos, geralmente é conveniente escolher o polinômio como
(pois ele simplifica ao derivar).
Passo 3
Escolhendo as partes para aplicar a fórmula:
- Tomamos
. Então
- Tomamos
. Então precisamos achar .
Calculemos:
Para integrar
usamos a substituição simples:
. Aqui
, logo
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Passo 5
Simplificando os fatores dentro das expressões:
O primeiro termo:
O primeiro termo:
O integrando do segundo termo:
logo o segundo termo é
. Então
Passo 6
Calcule agora a integral remanescente
, que já fizemos antes:
Substituindo:
Passo 7
Simplificando a expressão final passo a passo:
Primeiro combine os coeficientes:
Primeiro combine os coeficientes:
então
Colocando
em evidência:
Calcule o que está entre parênteses:
Logo
Passo 8
Verificação rápida (para ficar seguro): derivando a resposta obtida:
que é exatamente o integrando. Então a antiderivada está correta.