Usando integração por partes calcule as integrais abaixo:
\int e^{2 x}(4 x+2) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int e^{2x}(4x+2)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é e^{2x}(4x+2).
  • A operação pedida é uma antiderivada (integral indefinida), então a resposta deve conter uma constante de integração C.

Passo 2

Apresentando a técnica pedida: integração por partes.
Fórmula de integração por partes (uma “regra” que vem da regra do produto na diferenciação). Se escolhermos duas funções u(x) e v(x) com derivadas apropriadas, escrevemos
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função de x escolhida para ser diferenciada; du é sua diferencial, isto é du = u'(x)\,dx.
  • dv é a parte que vamos integrar para obter v; isto é, v=\int dv.
Breve justificativa (intuição): começar com a identidade \frac{d}{dx}(uv)=u'v+uv'. Integrando ambos os lados e reordenando, chega-se à fórmula acima. A ideia prática é escolher u simples de derivar e dv simples de integrar.
Regra prática para escolher u: quando há um polinômio multiplicando funções exponenciais, trigonométricas ou logaritmos, geralmente é conveniente escolher o polinômio como u (pois ele simplifica ao derivar).

Passo 3

Escolhendo as partes para aplicar a fórmula:
  • Tomamos u = 4x+2. Então
du = \frac{d}{dx}(4x+2)\,dx = 4\,dx.
  • Tomamos dv = e^{2x}\,dx. Então precisamos achar v=\int e^{2x}\,dx.
    Calculemos v:
v=\int e^{2x}\,dx.
Para integrar e^{2x} usamos a substituição simples: \int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax}+C. Aqui a=2, logo
v = \frac{1}{2}e^{2x}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int e^{2x}(4x+2)\,dx = (4x+2)\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\cdot 4\,dx.

Passo 5

Simplificando os fatores dentro das expressões:
O primeiro termo:
(4x+2)\cdot\frac{1}{2}e^{2x} = \frac{1}{2}(4x+2)e^{2x}.
O integrando do segundo termo:
\frac{1}{2}\cdot 4 = 2,
logo o segundo termo é 2\int e^{2x}\,dx. Então
\int e^{2x}(4x+2)\,dx = \frac{1}{2}(4x+2)e^{2x} - 2\int e^{2x}\,dx.

Passo 6

Calcule agora a integral remanescente \int e^{2x}\,dx, que já fizemos antes:
\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}.
Substituindo:
\int e^{2x}(4x+2)\,dx = \frac{1}{2}(4x+2)e^{2x} - 2\cdot\frac{1}{2}e^{2x} + C.

Passo 7

Simplificando a expressão final passo a passo:
Primeiro combine os coeficientes:
2\cdot\frac{1}{2} = 1,
então
\int e^{2x}(4x+2)\,dx = \frac{1}{2}(4x+2)e^{2x} - e^{2x} + C.
Colocando e^{2x} em evidência:
\frac{1}{2}(4x+2)e^{2x} - e^{2x} = e^{2x}\!\left(\frac{1}{2}(4x+2) - 1\right).
Calcule o que está entre parênteses:
\frac{1}{2}(4x+2) - 1 = 2x + 1 - 1 = 2x.
Logo
\int e^{2x}(4x+2)\,dx = 2x e^{2x} + C.

Passo 8

Verificação rápida (para ficar seguro): derivando a resposta obtida:
\frac{d}{dx}\big(2x e^{2x}\big) = 2 e^{2x} + 2x\cdot 2 e^{2x} = e^{2x}(2 + 4x) = e^{2x}(4x+2),
que é exatamente o integrando. Então a antiderivada está correta.

Resposta

2x e^{2x} + C

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