Usando o método da bissecção, determine uma raiz das funções a seguir com
Int. [1,2] R:1,375
Passo 1
O enunciado pede: usando o método da bissecção, determinar uma raiz da função
no intervalo
com erro menor que
.
Dados fornecidos:
- Função:
. - Intervalo inicial:
. - Tolerância:
.
O objetivo é aplicar o método da bissecção até obter uma aproximação da raiz cujo erro absoluto garantido seja menor que
.
Passo 2
Explicação didática do método da bissecção (passo a passo conceitual):
- Escolher
e tais que e tenham sinais opostos; então existe pelo menos uma raiz em . - Calcular o ponto médio
. - Avaliar
. Se então é raiz exata. Se não, escolher o subintervalo ou onde haja mudança de sinal (ou seja, onde tem sinais opostos nas extremidades). - Repetir o processo com o novo intervalo. A cada iteração o comprimento do intervalo é dividido por
. - Critério de parada com garantia de erro: quando
. Nesse ponto a distância entre o ponto médio atual e a raiz real é no máximo , logo a aproximação pelo ponto médio tem erro menor que .
Passo 3
Verificar sinais em
e
.
Calcular
:
Calcular
:
Conclusão:
e
. Há mudança de sinal em
, portanto existe pelo menos uma raiz nesse intervalo e podemos aplicar a bissecção.
Passo 4
Iteração 1:
Avaliar
:
Sinais:
e
⇒ raíz em
.
Passo 5
Iteração 2:
Avaliar
:
Sinais:
e
⇒ raíz em
.
Passo 6
Iteração 3:
Avaliar
:
Sinais:
e
⇒ raíz em
.
Passo 7
Verificação do critério de parada: o comprimento do intervalo atual é
Logo
Como
, o critério
está satisfeito. Isso garante que o ponto médio do intervalo atual está a uma distância da raiz menor que
.
Escolhemos como aproximação a raiz o ponto médio do intervalo atual:
Podemos também verificar o valor de
neste ponto para ver que está próximo de zero:
estimativa de
usando aproximação linear dá
, então
pequeno e consistente com a existência de raiz próxima.
Concluímos que
é uma aproximação da raiz com erro garantido menor que
(erro no máximo
).