Usando o método da bissecção, determine uma raiz das funções a seguir com \varepsilon<0.1
f(x)=\ln (x)-\cos (x) Int. [1,2] R:1,375

Passo 1

O enunciado pede: usando o método da bissecção, determinar uma raiz da função f(x)=\ln(x)-\cos(x) no intervalo [1,2] com erro menor que \varepsilon<0,1.
Dados fornecidos:
  • Função: f(x)=\ln(x)-\cos(x).
  • Intervalo inicial: [a,b]=[1,2].
  • Tolerância: \varepsilon<0,1.
O objetivo é aplicar o método da bissecção até obter uma aproximação da raiz cujo erro absoluto garantido seja menor que 0,1.

Passo 2

Explicação didática do método da bissecção (passo a passo conceitual):
  • Escolher a e b tais que f(a) e f(b) tenham sinais opostos; então existe pelo menos uma raiz em [a,b].
  • Calcular o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2}.
  • Avaliar f(m). Se f(m)=0 então m é raiz exata. Se não, escolher o subintervalo [a,m] ou [m,b] onde haja mudança de sinal (ou seja, onde f tem sinais opostos nas extremidades).
  • Repetir o processo com o novo intervalo. A cada iteração o comprimento do intervalo é dividido por 2.
  • Critério de parada com garantia de erro: quando \dfrac{b-a}{2}<\varepsilon. Nesse ponto a distância entre o ponto médio atual e a raiz real é no máximo \dfrac{b-a}{2}, logo a aproximação pelo ponto médio tem erro menor que \varepsilon.

Passo 3

Verificar sinais em a=1 e b=2.
Calcular f(1):
f(1)=\ln(1)-\cos(1)=0-\cos(1)=-\cos(1)\approx -0,5403.
Calcular f(2):
f(2)=\ln(2)-\cos(2)\approx 0,6931-(-0,4161)=1,1092.
Conclusão: f(1)\approx -0,5403<0 e f(2)\approx 1,1092>0. Há mudança de sinal em [1,2], portanto existe pelo menos uma raiz nesse intervalo e podemos aplicar a bissecção.

Passo 4

Iteração 1:
m_1=\frac{1+2}{2}=1,5.
Avaliar f(1,5):
f(1,5)=\ln(1,5)-\cos(1,5)\approx 0,405465-0,070737=0,334728>0.
Sinais: f(1)<0 e f(1,5)>0 ⇒ raíz em [1,1,5].

Passo 5

Iteração 2:
m_2=\frac{1+1,5}{2}=1,25.
Avaliar f(1,25):
f(1,25)=\ln(1,25)-\cos(1,25)\approx 0,223144-0,315322=-0,092178<0.
Sinais: f(1,25)<0 e f(1,5)>0 ⇒ raíz em [1,25,\,1,5].

Passo 6

Iteração 3:
m_3=\frac{1,25+1,5}{2}=1,375.
Avaliar f(1,375):
\ln(1,375)\approx 0,318454,\qquad \cos(1,375)\approx 0,193865,
f(1,375)=\ln(1,375)-\cos(1,375)\approx 0,318454-0,193865=0,124589>0.
Sinais: f(1,25)<0 e f(1,375)>0 ⇒ raíz em [1,25,\,1,375].

Passo 7

Verificação do critério de parada: o comprimento do intervalo atual é
b-a=1,375-1,25=0,125.
Logo
\frac{b-a}{2}=\frac{0,125}{2}=0,0625.
Como 0,0625<0,1, o critério \dfrac{b-a}{2}<\varepsilon está satisfeito. Isso garante que o ponto médio do intervalo atual está a uma distância da raiz menor que 0,1.
Escolhemos como aproximação a raiz o ponto médio do intervalo atual:
x_{\text{aprox}}=\frac{1,25+1,375}{2}=1,3125.
Podemos também verificar o valor de f neste ponto para ver que está próximo de zero:
\ln(1,3125)=\ln(1,25)+\ln(1,05)\approx 0,223144+0,048790=0,271934,
estimativa de \cos(1,3125) usando aproximação linear dá \cos(1,3125)\approx 0,25520, então
f(1,3125)\approx 0,271934-0,25520=0,01673,
pequeno e consistente com a existência de raiz próxima.
Concluímos que x_{\text{aprox}}=1,3125 é uma aproximação da raiz com erro garantido menor que 0,1 (erro no máximo 0,0625).

Resposta

x\approx 1,3125

Exercícios relacionados