Usando o método de integração de funções racionais por frações parciais, calcule cada integral:
\int \frac{5 x-12}{x(x-4)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{5x-12}{x(x-4)}\,dx
usando o método de frações parciais. Esse método é indicado para funções racionais em que o grau do numerador é menor que o do denominador. A ideia é fatorar o denominador e decompor a fração em termos simples que sejam fáceis de integrar.

Passo 2

Fatoramos o denominador, que já está como x(x-4). Supomos então que exista uma decomposição
\frac{5x-12}{x(x-4)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-4}.
Nosso objetivo agora é determinar os valores de A e B.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x(x-4), obtemos
5x - 12 = A(x-4) + Bx = (A+B)\,x - 4A.
Comparando coeficientes do polinômio do lado esquerdo com o do lado direito, temos as duas equações:
A + B = 5
-4A = -12.
Da segunda segue A=3. Substituindo em A+B=5, vem B=2.

Passo 4

Com A=3 e B=2, reescrevemos a integral original como soma de duas integrais mais simples:
\int \frac{5x-12}{x(x-4)}\,dx = \int \Bigl(\frac{3}{x} + \frac{2}{x-4}\Bigr)\,dx.

Passo 5

Usamos a fórmula básica
\int \frac{1}{u}\,du = \ln\lvert u\rvert + C.
Aplicando-a em cada termo dá
\int \frac{3}{x}\,dx = 3\ln\lvert x\rvert, \quad \int \frac{2}{x-4}\,dx = 2\ln\lvert x-4\rvert.
Somando e incluindo a constante de integração C, obtemos a antiderivada completa.

Resposta

\int \frac{5x-12}{x(x-4)}\,dx = 3\ln\lvert x\rvert + 2\ln\lvert x-4\rvert + C.

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