Usando uma substituição trigonométrica adequada, calcule cada integral.
\int \frac{1}{x \sqrt{4-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{1}{x\sqrt{4 - x^2}}\,dx
usando uma substituição trigonométrica. O conteúdo é integração por substituição trigonométrica, e vamos usar a relação entre triângulo retângulo e as funções seno e cosseno para eliminar a raiz quadrada.

Passo 2

Escolhemos a substituição
x = 2\sin\theta,
pois assim
\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = 2\cos\theta.
Além disso,
dx = 2\cos\theta\,d\theta.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int \frac{1}{x\sqrt{4 - x^2}}\,dx = \int \frac{1}{(2\sin\theta)(2\cos\theta)}\,(2\cos\theta\,d\theta) = \int \frac{2\cos\theta}{4\sin\theta\cos\theta}\,d\theta = \frac12\int \csc\theta\,d\theta.

Passo 4

Sabemos que
\int \csc\theta\,d\theta = \ln\bigl|\tan(\tfrac\theta2)\bigr| + C.
Logo,
\frac12\int \csc\theta\,d\theta = \frac12\,\ln\bigl|\tan(\tfrac\theta2)\bigr| + C.

Passo 5

Falta voltar para x. Como x=2\sin\theta, temos \sin\theta = x/2 e
\tan\!\bigl(\tfrac\theta2\bigr) = \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1 - \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}}{\frac{x}{2}} = \frac{2 - \sqrt{4-x^2}}{x}.
Portanto a antiderivada em termos de x é
\frac12\ln\biggl|\frac{2 - \sqrt{4-x^2}}{x}\biggr| + C.

Resposta

\int \frac{1}{x\sqrt{4 - x^2}}\,dx = \frac12\ln\biggl|\frac{2 - \sqrt{4-x^2}}{x}\biggr| + C.

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