Usando o método de integração de funções racionais por frações parciais, calcule cada integral:
\int \frac{6 x-11}{x^{2}-2 x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{6x - 11}{x^{2} - 2x + 1}\,dx
usando o método de frações parciais. Aqui o conteúdo é integração de funções racionais, e precisamos fatorar o denominador, reconhecer que é um quadrado perfeito e decompor a função em termos simples.

Passo 2

Note que
x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^{2}.
Fazemos a decomposição
\frac{6x - 11}{(x - 1)^{2}} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^{2}}.
Multiplicando por (x-1)^{2}, obtemos
6x - 11 = A(x - 1) + B.
Igualando coeficientes em x e termo independente:
A = 6, \quad -\,A + B = -11 \;\Longrightarrow\; B = -5.
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\frac{6x - 11}{(x - 1)^{2}} = \frac{6}{x - 1} \;-\; \frac{5}{(x - 1)^{2}}.

Passo 3

Integramos termo a termo:
  1. \displaystyle \int \frac{6}{x-1}\,dx = 6 \ln\lvert x-1\rvert. 2. \displaystyle \int -\frac{5}{(x-1)^{2}}\,dx = -5 \int (x-1)^{-2}\,dx = -5 \bigl(\frac{(x-1)^{-1}}{-1}\bigr) = \frac{5}{x-1}. Somando os resultados, obtemos a integral indefinida completa.

Resposta

6 \ln\lvert x-1\rvert \;+\; \frac{5}{x-1} \;+\; C.

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