Usando o método de integração de funções racionais por frações parciais, calcule cada integral:
\int \frac{5 x^{2}+11 x+17}{x^{3}+5 x^{2}+4 x+20} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{5x^{2}+11x+17}{x^{3}+5x^{2}+4x+20}\,dx
usando o método de decomposição em frações parciais. Ou seja, vamos fatorar o denominador, escrever a função como soma de parcelas simples e depois integrar cada parcela.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador
x^{3}+5x^{2}+4x+20 = x^{2}(x+5)+4(x+5) = (x+5)(x^{2}+4).

Passo 3

Escrevemos então
\frac{5x^{2}+11x+17}{(x+5)(x^{2}+4)} = \frac{A}{x+5} + \frac{Bx + C}{x^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por (x+5)(x^{2}+4)\) e igualando coeficientes, obtemos \[A(x^{2}+4) + (Bx+C)(x+5) = 5x^{2}+11x+17.
Isso gera o sistema
\begin{cases} A + B = 5,\\\\ 5B + C = 11,\\\\ 4A + 5C = 17. \end{cases}
Resolvendo, achamos B=2\], \(A=3 e C=1.

Passo 4

Substituindo na integral, temos
\int \frac{5x^{2}+11x+17}{(x+5)(x^{2}+4)}\,dx = \int \frac{3}{x+5}\,dx + \int \frac{2x+1}{x^{2}+4}\,dx.
Agora separamos:
  1. \displaystyle \int \frac{3}{x+5}\,dx = 3\ln\lvert x+5\rvert. 2. \displaystyle \int \frac{2x}{x^{2}+4}\,dx. Fazendo u=x^{2}+4, du=2x\,dx, dá \ln(x^{2}+4).
  2. \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx = \frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Passo 5

Somando tudo, a primitiva é
3\ln\lvert x+5\rvert + \ln(x^{2}+4) + \tfrac12\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

Resposta

3\ln\lvert x+5\rvert + \ln(x^{2}+4) + \frac12\arctan\!\bigl(\frac{x}{2}\bigr) + C.

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