Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma -\infty<x<\infty \mathrm{e} t>0 :
\left\{\begin{array}{l}u_{x t}=u_{x x} \\\ u(x, 0)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-|x|}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} u_{x t}=u_{x x},& -\infty<x<\infty,\;t>0,\\\ u(x,0)=\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\,e^{-|x|}. \end{cases}
O método é usar a transformada de Fourier em x. Vamos precisar (i) transformar a EDP, (ii) resolver a EDO resultante em t, (iii) calcular a transformada inicial e (iv) inverter a transformada.

Passo 2

Defina a transformada de Fourier não normalizada
\hat u(k,t)=\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)\,e^{-ikx}\,dx.
Transformando a EDP em x:
\text{FT}\{u_{xt}\} =\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\text{FT}\{u_x\}\bigr) =\frac{\partial}{\partial t}\bigl(ik\,\hat u(k,t)\bigr) =ik\,\hat u_t(k,t),
\text{FT}\{u_{xx}\} =-k^2\,\hat u(k,t).
Logo a EDP vira
ik\,\hat u_t(k,t)=-k^2\,\hat u(k,t).

Passo 3

Da equação
ik\,\hat u_t=-k^2\,\hat u \quad\Longrightarrow\quad \hat u_t = \frac{-k^2}{ik}\,\hat u = i k\,\hat u,
temos a EDO
\frac{d}{dt}\hat u(k,t)=i k\,\hat u(k,t).
A solução é
\hat u(k,t) =\hat u(k,0)\,e^{ikt}.

Passo 4

Calculamos a transformada inicial:
\hat u(k,0) =\int_{-\infty}^\infty \sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\,e^{-|x|}\,e^{-ikx}\,dx =\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\;\frac{2}{1+k^2}.
Portanto
\hat u(k,t) =2\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\;\frac{e^{ikt}}{1+k^2}.

Passo 5

Invertendo a transformada:
u(x,t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \hat u(k,t)\,e^{ikx}\,dk =\frac{2\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty\frac{e^{ik(x+t)}}{1+k^2}\,dk.
Usamos o resultado padrão
\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{iky}}{1+k^2}\,dk=\pi\,e^{-|y|},
com y=x+t. Assim
u(x,t) =\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\;e^{-|\,x+t\,|}.

Resposta

u(x,t)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\;e^{-|x+t|}.

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