Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma -\infty<x<\infty \mathrm{e} t>0 :
\left\{\begin{array}{l}u_{t}=e^{-t} u_{x x} \\\ u(x, 0)=100\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} u_{t} = e^{-t}\,u_{xx},& -\infty<x<\infty,\;t>0,\\\ u(x,0)=100,& -\infty<x<\infty, \end{cases}
e pede a solução usando transformada de Fourier em x. Vamos transformar a PDE em x, resolver a ODE resultante em t e depois inverter a transformada.

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier em x de u(x,t) como
U(k,t) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\,u(x,t)\,dx.
Aplicando-a à PDE, como a transformada de u_{xx} é -(k^2)U, obtemos
\frac{\partial U}{\partial t} = e^{-t}\,\bigl(-k^2\,U\bigr) \quad\Longrightarrow\quad U_{t} + k^2 e^{-t} U = 0.

Passo 3

Resolvemos a equação ordinária em t:
\frac{dU}{dt} = -k^2 e^{-t}U.
Separando variáveis e integrando de 0 a t,
\ln\frac{U(k,t)}{U(k,0)} = \int_{0}^{t} -k^2 e^{-s}\,ds = -k^2\bigl(1-e^{-t}\bigr),
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U(k,t) = U(k,0)\,\exp\!\bigl(-k^2(1-e^{-t})\bigr).

Passo 4

Calculamos U(k,0) pela transformada de u(x,0)=100:
U(k,0) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\,100\,dx =100\cdot2\pi\,\delta(k).

Passo 5

Invertemos a transformada para obter u(x,t):
u(x,t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx}\,U(k,t)\,dk =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx}\,2\pi\,100\,\delta(k)\,e^{-k^2(1-e^{-t})}\,dk =100.

Resposta

u(x,t) = 100.

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