Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma
:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede a solução usando transformada de Fourier em
. Vamos transformar a PDE em
, resolver a ODE resultante em
e depois inverter a transformada.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier em
de
como
Aplicando-a à PDE, como a transformada de
é
, obtemos
Passo 3
Resolvemos a equação ordinária em
:
Separando variáveis e integrando de
a
,
logo
Passo 4
Calculamos
pela transformada de
:
Passo 5
Invertemos a transformada para obter
: